(1) $\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ を証明せよ。 (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ を証明せよ。

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

左辺の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} \cdot \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}$

$= \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 - (\sqrt{k})^2} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{(k+1) - k} = \frac{\sqrt{k+1} - \sqrt{k}}{1} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

よって、$\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$ が証明されました。

(2)

(1)の結果を利用して、和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k})$

これは、差分の和なので、初項と末項だけが残ります。

$\sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = (\sqrt{2} - \sqrt{1}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \dots + (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

$= \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{k+1} - \sqrt{k}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \sqrt{n+1} - 1$