座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x, y)$が、$x=e^{-t}\cos(\pi t)$、$y=e^{-t}\sin(\pi t)$で表されるとき、$t=0$から$t=2$までにPが通過する道のり$s$を求める。

1. 問題の内容

座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x, y)$が、$x=e^{-t}\cos(\pi t)$、$y=e^{-t}\sin(\pi t)$で表されるとき、$t=0$から$t=2$までにPが通過する道のり$s$を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x(t)$と$y(t)$を$t$で微分します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{-t}\cos(\pi t)) = -e^{-t}\cos(\pi t) - \pi e^{-t}\sin(\pi t)$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{-t}\sin(\pi t)) = -e^{-t}\sin(\pi t) + \pi e^{-t}\cos(\pi t)$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$を計算します。

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = (-e^{-t}\cos(\pi t) - \pi e^{-t}\sin(\pi t))^2 = e^{-2t}\cos^2(\pi t) + 2\pi e^{-2t}\cos(\pi t)\sin(\pi t) + \pi^2 e^{-2t}\sin^2(\pi t)$

$\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (-e^{-t}\sin(\pi t) + \pi e^{-t}\cos(\pi t))^2 = e^{-2t}\sin^2(\pi t) - 2\pi e^{-2t}\sin(\pi t)\cos(\pi t) + \pi^2 e^{-2t}\cos^2(\pi t)$

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = e^{-2t}(\cos^2(\pi t) + \sin^2(\pi t)) + \pi^2 e^{-2t}(\sin^2(\pi t) + \cos^2(\pi t)) = e^{-2t} + \pi^2 e^{-2t} = (1+\pi^2)e^{-2t}$

道のり$s$は、$\int_0^2 \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$で与えられます。

$s = \int_0^2 \sqrt{(1+\pi^2)e^{-2t}} dt = \sqrt{1+\pi^2} \int_0^2 e^{-t} dt = \sqrt{1+\pi^2} [-e^{-t}]_0^2 = \sqrt{1+\pi^2}(-e^{-2} - (-e^0)) = \sqrt{1+\pi^2}(1 - e^{-2})$

3. 最終的な答え

$\sqrt{1+\pi^2}(1 - e^{-2})$