与えられた二つの不定積分を計算します。 一つ目の積分は $\int \frac{4e^{4x}}{e^{4x} + 5} dx$ です。 二つ目の積分は $\int \frac{x^5}{x^6 + 4} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた二つの不定積分を計算します。

一つ目の積分は $\int \frac{4e^{4x}}{e^{4x} + 5} dx$ です。

二つ目の積分は $\int \frac{x^5}{x^6 + 4} dx$ です。

2. 解き方の手順

(1) 一つ目の積分 $\int \frac{4e^{4x}}{e^{4x} + 5} dx$ について：

$u = e^{4x} + 5$ と置換します。すると、$du = 4e^{4x} dx$ となります。

したがって、積分は $\int \frac{1}{u} du$ となります。

$\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |e^{4x} + 5| + C$ となります。$e^{4x}+5$ は常に正なので、絶対値記号を省略できます。

(2) 二つ目の積分 $\int \frac{x^5}{x^6 + 4} dx$ について：

$v = x^6 + 4$ と置換します。すると、$dv = 6x^5 dx$ となります。よって、$x^5 dx = \frac{1}{6} dv$ です。

したがって、積分は $\int \frac{1}{6v} dv = \frac{1}{6} \int \frac{1}{v} dv$ となります。

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{v} dv = \frac{1}{6} \ln |v| + C = \frac{1}{6} \ln |x^6 + 4| + C$ となります。$x^6+4$ は常に正なので、絶対値記号を省略できます。

3. 最終的な答え

一つ目の積分：

$\ln(e^{4x} + 5) + C$

二つ目の積分：

$\frac{1}{6} \ln(x^6 + 4) + C$