円柱螺旋 $C: \vec{r} = 2\cos{t}\vec{i} + 2\sin{t}\vec{j} + t\vec{k}$ ($0 \le t \le \pi$) に沿ってのベクトル場 $\vec{F} = y\vec{i} - z\vec{j} + x\vec{k}$ の線積分 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ を求める。

1. 問題の内容

円柱螺旋 $C: \vec{r} = 2\cos{t}\vec{i} + 2\sin{t}\vec{j} + t\vec{k}$ ($0 \le t \le \pi$) に沿ってのベクトル場 $\vec{F} = y\vec{i} - z\vec{j} + x\vec{k}$ の線積分 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{F}$ をパラメータ $t$ で表す。

$x = 2\cos{t}$, $y = 2\sin{t}$, $z = t$ より、

$\vec{F} = 2\sin{t}\vec{i} - t\vec{j} + 2\cos{t}\vec{k}$

次に、$\frac{d\vec{r}}{dt}$ を計算する。

$\vec{r} = 2\cos{t}\vec{i} + 2\sin{t}\vec{j} + t\vec{k}$ より、

$\frac{d\vec{r}}{dt} = -2\sin{t}\vec{i} + 2\cos{t}\vec{j} + \vec{k}$

$\vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt}$ を計算する。

$\vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} = (2\sin{t}\vec{i} - t\vec{j} + 2\cos{t}\vec{k}) \cdot (-2\sin{t}\vec{i} + 2\cos{t}\vec{j} + \vec{k})$

$= -4\sin^2{t} - 2t\cos{t} + 2\cos{t}$

積分区間 $[0, \pi]$ で $\vec{F} \cdot \frac{d\vec{r}}{dt}$ を積分する。

$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^\pi (-4\sin^2{t} - 2t\cos{t} + 2\cos{t})dt$

$\sin^2{t} = \frac{1 - \cos{2t}}{2}$ より、

$\int_0^\pi -4\sin^2{t} dt = \int_0^\pi -4(\frac{1 - \cos{2t}}{2}) dt = \int_0^\pi (-2 + 2\cos{2t}) dt$

$= [-2t + \sin{2t}]_0^\pi = -2\pi$

$\int_0^\pi -2t\cos{t} dt$ を部分積分で計算する。

$u = -2t$, $dv = \cos{t} dt$ とすると、$du = -2 dt$, $v = \sin{t}$

$\int_0^\pi -2t\cos{t} dt = [-2t\sin{t}]_0^\pi - \int_0^\pi -2\sin{t} dt = 0 + 2\int_0^\pi \sin{t} dt$

$= 2[-\cos{t}]_0^\pi = 2(-\cos{\pi} + \cos{0}) = 2(1 + 1) = 4$

$\int_0^\pi 2\cos{t} dt = [2\sin{t}]_0^\pi = 0$

$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = -2\pi + 4 + 0 = 4 - 2\pi$

3. 最終的な答え

$4 - 2\pi$