円柱螺旋 $C: \vec{r} = 2\cos{t} \vec{i} + 2\sin{t} \vec{j} + t \vec{k} \ (0 \leq t \leq \pi)$ に沿ってのベクトル場 $\vec{F} = y\vec{i} - z\vec{j} + x\vec{k}$ の線積分 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

円柱螺旋 $C: \vec{r} = 2\cos{t} \vec{i} + 2\sin{t} \vec{j} + t \vec{k} \ (0 \leq t \leq \pi)$ に沿ってのベクトル場 $\vec{F} = y\vec{i} - z\vec{j} + x\vec{k}$ の線積分 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$d\vec{r}$ を計算します。

$\vec{r} = 2\cos{t} \vec{i} + 2\sin{t} \vec{j} + t \vec{k}$ より、

$$d\vec{r} = \frac{d\vec{r}}{dt} dt = (-2\sin{t}\vec{i} + 2\cos{t}\vec{j} + \vec{k}) dt$$

次に、ベクトル場 $\vec{F}$ を $t$ の関数として表します。$\vec{F} = y\vec{i} - z\vec{j} + x\vec{k}$ であり、$x = 2\cos{t}, y = 2\sin{t}, z = t$ なので、

$$\vec{F} = 2\sin{t}\vec{i} - t\vec{j} + 2\cos{t}\vec{k}$$

次に、$\vec{F} \cdot d\vec{r}$ を計算します。

$$\vec{F} \cdot d\vec{r} = (2\sin{t}\vec{i} - t\vec{j} + 2\cos{t}\vec{k}) \cdot (-2\sin{t}\vec{i} + 2\cos{t}\vec{j} + \vec{k}) dt$$

$$= (-4\sin^2{t} - 2t\cos{t} + 2\cos{t}) dt$$

最後に、線積分 $\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$ を計算します。積分範囲は $0 \leq t \leq \pi$ なので、

$$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_0^\pi (-4\sin^2{t} - 2t\cos{t} + 2\cos{t}) dt$$

まず、$\int_0^\pi \sin^2{t} dt = \int_0^\pi \frac{1 - \cos{2t}}{2} dt = \left[\frac{t}{2} - \frac{\sin{2t}}{4}\right]_0^\pi = \frac{\pi}{2}$

次に、$\int_0^\pi t\cos{t} dt$ を計算します。部分積分を用いると、

$\int_0^\pi t\cos{t} dt = [t\sin{t}]_0^\pi - \int_0^\pi \sin{t} dt = 0 - [-\cos{t}]_0^\pi = \cos{\pi} - \cos{0} = -1 - 1 = -2$

最後に、$\int_0^\pi \cos{t} dt = [\sin{t}]_0^\pi = \sin{\pi} - \sin{0} = 0$

したがって、

$$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = -4\int_0^\pi \sin^2{t} dt - 2\int_0^\pi t\cos{t} dt + 2\int_0^\pi \cos{t} dt$$

$$= -4\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2(-2) + 2(0) = -2\pi + 4$$

3. 最終的な答え

$-2\pi + 4$