不定積分 $\int (\sin^2 x + 8\sin x) \cos x dx$ を、 $u = \sin x$ とおく置換積分を用いて計算し、空欄（ア）～（エ）を埋める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (\sin^2 x + 8\sin x) \cos x dx$ を、 $u = \sin x$ とおく置換積分を用いて計算し、空欄（ア）～（エ）を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(ア) $\frac{du}{dx}$ を計算します。

$u = \sin x$ なので、$\frac{du}{dx} = \cos x$ となります。

(イ) $\int (\sin^2 x + 8\sin x) \cos x dx$ を $u$ の積分に書き換えます。

$\sin x = u$ より、$\sin^2 x = u^2$ です。また、$\frac{du}{dx} = \cos x$ より $du = \cos x dx$ です。

したがって、

$\int (\sin^2 x + 8\sin x) \cos x dx = \int (u^2 + 8u) du$ となります。

(ウ) $\int (u^2 + 8u) du$ を計算します。

$\int (u^2 + 8u) du = \frac{1}{3}u^3 + 4u^2 + C$ となります。

(エ) $u$ を $x$ に戻します。

$\frac{1}{3}u^3 + 4u^2 + C = \frac{1}{3}(\sin x)^3 + 4(\sin x)^2 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x + 4\sin^2 x + C$ となります。

3. 最終的な答え

(ア) $\cos x$

(イ) $u^2+8u$

(ウ) $\frac{1}{3}u^3+4u^2$

(エ) $\frac{1}{3}\sin^3 x + 4\sin^2 x$