不定積分 $\int 16x(2x-3)^{-\frac{2}{3}}dx$ を計算する問題です。$t=2x-3$ とおく置換積分法を用いることが指示されています。空欄（ア）～（エ）を埋める必要があります。

1. 問題の内容

不定積分 $\int 16x(2x-3)^{-\frac{2}{3}}dx$ を計算する問題です。$t=2x-3$ とおく置換積分法を用いることが指示されています。空欄（ア）～（エ）を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$t=2x-3$ より、$x = \frac{t+3}{2}$ です。

$t=2x-3$ を $t$ で微分すると、$\frac{dt}{dt} = 2\frac{dx}{dt}$ となり、$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}$ となります。これが（ア）です。

与えられた積分を $t$ で書き換えます。

$\int 16x(2x-3)^{-\frac{2}{3}}dx = \int 16(\frac{t+3}{2})t^{-\frac{2}{3}}\frac{1}{2}dt = \int 4(t+3)t^{-\frac{2}{3}}dt = \int (4t^{\frac{1}{3}} + 12t^{-\frac{2}{3}})dt$

これが（イ）です。

$\int (4t^{\frac{1}{3}} + 12t^{-\frac{2}{3}})dt = 4\int t^{\frac{1}{3}}dt + 12\int t^{-\frac{2}{3}}dt$

$= 4\frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + 12\frac{t^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3t^{\frac{4}{3}} + 36t^{\frac{1}{3}} + C$

これが（ウ）です。

最後に、$t=2x-3$ を代入して、$x$ の関数に戻します。

$3t^{\frac{4}{3}} + 36t^{\frac{1}{3}} + C = 3(2x-3)^{\frac{4}{3}} + 36(2x-3)^{\frac{1}{3}} + C$

これが（エ）です。

3. 最終的な答え

(ア) $\frac{1}{2}$

(イ) $4t^{\frac{1}{3}} + 12t^{-\frac{2}{3}}$

(ウ) $3t^{\frac{4}{3}} + 36t^{\frac{1}{3}}$

(エ) $3(2x-3)^{\frac{4}{3}} + 36(2x-3)^{\frac{1}{3}}$