$L = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-2}\right)^x$ とおくと、 $\log L = \lim_{x \to \infty} x \log \left(\frac{x}{x-2}\right) = \lim_{x \to \infty} x \log \left(\frac{x-2+2}{x-2}\right) = \lim_{x \to \infty} x \log \left(1 + \frac{2}{x-2}\right)$

## 問題の解答

###

1. 問題の内容

画像に写っている極限の問題の中から、問題(3) $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-2}\right)^x$ を解きます。

###

2. 解き方の手順

1. 指数関数の極限を計算するために、自然対数をとります。

$L = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-2}\right)^x$ とおくと、

$\log L = \lim_{x \to \infty} x \log \left(\frac{x}{x-2}\right) = \lim_{x \to \infty} x \log \left(\frac{x-2+2}{x-2}\right) = \lim_{x \to \infty} x \log \left(1 + \frac{2}{x-2}\right)$

2. $\frac{2}{x-2}$ を$t$ と置換します。$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ なので、 $x = \frac{2}{t} + 2$ となり、

$\log L = \lim_{t \to 0} \left(\frac{2}{t} + 2\right) \log(1+t) = \lim_{t \to 0} \frac{2\log(1+t)}{t} + \lim_{t \to 0} 2\log(1+t)$

3. $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ および $\lim_{t \to 0} \log(1+t) = \log 1 = 0$ を用いると、

$\log L = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 2$

4. $L = e^{\log L}$ より、$L = e^2$

###

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x}{x-2}\right)^x = e^2$