不定積分 $\int 16x (2x-3)^{-\frac{2}{3}} dx$ を、置換積分 $t=2x-3$ （つまり、$x=\frac{t+3}{2}$）を用いて計算し、空欄(ア)～(エ)を埋める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int 16x (2x-3)^{-\frac{2}{3}} dx$ を、置換積分 $t=2x-3$ （つまり、$x=\frac{t+3}{2}$）を用いて計算し、空欄(ア)～(エ)を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、置換積分のための準備をします。

$t = 2x - 3$ より、$\frac{dt}{dx} = 2$ となります。

したがって、$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}$ となり、(ア) は $\frac{1}{2}$ です。

次に、与えられた積分を $t$ で書き換えます。

$x = \frac{t+3}{2}$ より、

$\int 16x (2x-3)^{-\frac{2}{3}} dx = \int 16 \cdot \frac{t+3}{2} \cdot t^{-\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{2} dt = \int 4(t+3)t^{-\frac{2}{3}} dt = \int (4t^{\frac{1}{3}} + 12t^{-\frac{2}{3}}) dt$

よって、(イ) は $4t^{\frac{1}{3}} + 12t^{-\frac{2}{3}}$ です。

次に、積分 $\int (4t^{\frac{1}{3}} + 12t^{-\frac{2}{3}}) dt$ を計算します。

$\int 4t^{\frac{1}{3}} dt = 4 \cdot \frac{t^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C_1 = 3t^{\frac{4}{3}} + C_1$

$\int 12t^{-\frac{2}{3}} dt = 12 \cdot \frac{t^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C_2 = 36t^{\frac{1}{3}} + C_2$

したがって、$\int (4t^{\frac{1}{3}} + 12t^{-\frac{2}{3}}) dt = 3t^{\frac{4}{3}} + 36t^{\frac{1}{3}} + C$ （$C = C_1 + C_2$）となり、(ウ) は $3t^{\frac{4}{3}} + 36t^{\frac{1}{3}}$ です。

最後に、$t = 2x - 3$ を代入して、$x$ の関数で表します。

$3t^{\frac{4}{3}} + 36t^{\frac{1}{3}} = 3(2x-3)^{\frac{4}{3}} + 36(2x-3)^{\frac{1}{3}} = 3(2x-3)^{\frac{1}{3}}[(2x-3) + 12] = 3(2x-3)^{\frac{1}{3}}(2x+9)$

したがって、(エ) は $3(2x-3)^{\frac{1}{3}}(2x+9)$ です。

3. 最終的な答え

ア：$\frac{1}{2}$

イ：$4t^{\frac{1}{3}} + 12t^{-\frac{2}{3}}$

ウ：$3t^{\frac{4}{3}} + 36t^{\frac{1}{3}}$

エ：$3(2x-3)^{\frac{1}{3}}(2x+9)$