不定積分 $\int (\sin^2 x + 8 \sin x) \cos x \, dx$ を、置換積分 $u = \sin x$ を用いて計算し、空欄 (ア)〜(エ) を埋める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int (\sin^2 x + 8 \sin x) \cos x \, dx$ を、置換積分 $u = \sin x$ を用いて計算し、空欄 (ア)〜(エ) を埋める問題です。

2. 解き方の手順

(ア)

$u = \sin x$ より、$\frac{du}{dx} = \cos x$ となります。

(イ)

$\int (\sin^2 x + 8 \sin x) \cos x \, dx$ を $u = \sin x$ で置換すると、$\cos x \, dx = du$ となるので、

$\int (u^2 + 8u) \, du$ となります。

(ウ)

$\int (u^2 + 8u) \, du = \frac{1}{3}u^3 + 4u^2 + C$ です。

(エ)

$u = \sin x$ を代入すると、$\frac{1}{3} \sin^3 x + 4 \sin^2 x + C$ となります。

3. 最終的な答え

(ア): $\cos x$

(イ): $u^2+8u$

(ウ): $\frac{1}{3}u^3+4u^2$

(エ): $\frac{1}{3}\sin^3x+4\sin^2x$