与えられた複素数の指数関数を計算します。具体的には、$e^{\log 4 - \frac{\pi}{3}i}$ の値を求めます。ここで、$\log$ は自然対数とします。

1. 問題の内容

与えられた複素数の指数関数を計算します。具体的には、$e^{\log 4 - \frac{\pi}{3}i}$ の値を求めます。ここで、$\log$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

指数法則 $e^{a+b} = e^a e^b$ を利用します。

与えられた式は以下のように変形できます。

$e^{\log 4 - \frac{\pi}{3}i} = e^{\log 4} e^{-\frac{\pi}{3}i}$

$e^{\log 4} = 4$ であることは明らかです。

次に、$e^{-\frac{\pi}{3}i}$ を計算します。これはオイラーの公式 $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ を使って計算できます。

$e^{-\frac{\pi}{3}i} = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3})$

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$e^{-\frac{\pi}{3}i} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

よって、元の式は

$e^{\log 4 - \frac{\pi}{3}i} = 4 (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 - 2\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

$2 - 2\sqrt{3}i$