問題158： 2つの曲線 $y = ax^2 + b$ と $y = \frac{1}{x^2}$ が点 $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ で交わり、この点における接線が直交するとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題158：

2つの曲線 $y = ax^2 + b$ と $y = \frac{1}{x^2}$ が点 $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ で交わり、この点における接線が直交するとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線が点 $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ で交わるという条件から、$a$と$b$の関係式を求めます。

$x = \sqrt{2}, y = \frac{1}{2}$を $y = ax^2 + b$ に代入すると、

$\frac{1}{2} = a(\sqrt{2})^2 + b$

$\frac{1}{2} = 2a + b$

次に、2つの曲線の接線を求めます。

$y = ax^2 + b$ の導関数は $y' = 2ax$

$x = \sqrt{2}$ のとき、接線の傾きは $2a\sqrt{2}$

$y = \frac{1}{x^2}$ の導関数は $y' = -\frac{2}{x^3}$

$x = \sqrt{2}$ のとき、接線の傾きは $-\frac{2}{(\sqrt{2})^3} = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

2つの接線が直交するという条件から、2つの傾きの積が-1になります。

$(2a\sqrt{2})(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$

$-2a = -1$

$a = \frac{1}{2}$

求めた$a$の値を $\frac{1}{2} = 2a + b$ に代入して、$b$を求めます。

$\frac{1}{2} = 2(\frac{1}{2}) + b$

$\frac{1}{2} = 1 + b$

$b = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{2}$

$b = -\frac{1}{2}$