問題は、$y = \sqrt{3}\sin{2\theta} - \cos{2\theta} + 3$ の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \pi$です。

1. 問題の内容

問題は、$y = \sqrt{3}\sin{2\theta} - \cos{2\theta} + 3$ の最大値と最小値を求め、そのときの$\theta$の値を求める問題です。ただし、$0 \le \theta \le \pi$です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{3}\sin{2\theta} - \cos{2\theta} + 3$ を $y = r\sin(2\theta + \alpha) + p$ の形に変形します。

$r\sin(2\theta + \alpha) = r(\sin{2\theta}\cos{\alpha} + \cos{2\theta}\sin{\alpha}) = (r\cos{\alpha})\sin{2\theta} + (r\sin{\alpha})\cos{2\theta}$

$\sqrt{3}\sin{2\theta} - \cos{2\theta}$ と比較すると、

$r\cos{\alpha} = \sqrt{3}$

$r\sin{\alpha} = -1$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2\cos^2{\alpha} + r^2\sin^2{\alpha} = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2$

$r^2(\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha}) = 3 + 1$

$r^2 = 4$

$r > 0$ より、$r = 2$

したがって、$2\cos{\alpha} = \sqrt{3}$ かつ $2\sin{\alpha} = -1$

$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin{\alpha} = -\frac{1}{2}$

$-\pi < \alpha < \pi$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

よって、$y = 2\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) + 3$

次に、最大値と最小値を求めます。

$0 \le \theta \le \pi$ より、$0 \le 2\theta \le 2\pi$

$-\frac{\pi}{6} \le 2\theta - \frac{\pi}{6} \le 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$

$-1 \le \sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) \le 1$

したがって、$2(-1) + 3 \le 2\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) + 3 \le 2(1) + 3$

$1 \le y \le 5$

最大値は $5$ で、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) = 1$ のとき。

$2\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$

$2\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

最小値は $1$ で、$\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) = -1$ のとき。

$2\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

$2\theta = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$

$\theta = \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

最大値: $5$ ($\theta = \frac{\pi}{3}$)

最小値: $1$ ($\theta = \frac{5\pi}{6}$)