問題は、媒介変数表示された曲線に対する、指定された点における接線の方程式を求めるものです。問題文には3つの小問がありますが、ここでは画像の(2)の小問を解きます。 与えられた曲線は、媒介変数 $t$ を用いて以下のように表されています。 $x = \cos 2t$ $y = \sin t + 1$ そして、$t = -\frac{\pi}{6}$ における接線を求めます。

1. 問題の内容

問題は、媒介変数表示された曲線に対する、指定された点における接線の方程式を求めるものです。問題文には3つの小問がありますが、ここでは画像の(2)の小問を解きます。

与えられた曲線は、媒介変数 $t$ を用いて以下のように表されています。

$x = \cos 2t$

$y = \sin t + 1$

そして、$t = -\frac{\pi}{6}$ における接線を求めます。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を求めます。$t = -\frac{\pi}{6}$ を $x$ と $y$ の式に代入します。

$x = \cos\left(2 \cdot -\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$y = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

したがって、接点の座標は $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ です。

次に、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = -2\sin 2t$

$\frac{dy}{dt} = \cos t$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-2\sin 2t}$

次に、$t = -\frac{\pi}{6}$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{-2\sin\left(2 \cdot -\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{-2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

したがって、接線の傾きは $\frac{1}{2}$ です。

接点の座標 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ と傾き $\frac{1}{2}$ を用いて、接線の方程式を求めます。

$y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{1}{2}\right)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

接線の方程式は、$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ です。