与えられた関数 $f(x)$ に対して、指定された $x$ の値における微分係数を、微分係数の定義を使って求める問題です。 (1) $f(x) = -x + 1, x = 3$ (3) $f(x) = -x^3 + x^2 - x, x = 1$ これらの問題について、微分係数の定義 $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ を用いて微分係数を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、指定された $x$ の値における微分係数を、微分係数の定義を使って求める問題です。

(1) $f(x) = -x + 1, x = 3$

(3) $f(x) = -x^3 + x^2 - x, x = 1$

これらの問題について、微分係数の定義

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

を用いて微分係数を計算します。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x + 1, x = 3$ の場合

まず、$f(3+h)$ と $f(3)$ を計算します。

$f(3+h) = -(3+h) + 1 = -3 - h + 1 = -2 - h$

$f(3) = -3 + 1 = -2$

次に、微分係数の定義式に代入します。

$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(-2 - h) - (-2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0} -1 = -1$

(3) $f(x) = -x^3 + x^2 - x, x = 1$ の場合

まず、$f(1+h)$ と $f(1)$ を計算します。

$f(1+h) = -(1+h)^3 + (1+h)^2 - (1+h)$

$= -(1 + 3h + 3h^2 + h^3) + (1 + 2h + h^2) - (1 + h)$

$= -1 - 3h - 3h^2 - h^3 + 1 + 2h + h^2 - 1 - h$

$= -h^3 - 2h^2 - 2h - 1$

$f(1) = -1^3 + 1^2 - 1 = -1 + 1 - 1 = -1$

次に、微分係数の定義式に代入します。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(-h^3 - 2h^2 - 2h - 1) - (-1)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-h^3 - 2h^2 - 2h}{h} = \lim_{h \to 0} (-h^2 - 2h - 2)$

$= -0^2 - 2(0) - 2 = -2$

3. 最終的な答え

(1) $f'(3) = -1$

(3) $f'(1) = -2$