関数 $y = 3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を、 $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を、 $0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を三角関数の合成を用いて変形する。

$R\sin(\theta + \alpha) = 3\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta$ となる $R$ と $\alpha$ を求める。

$R = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$\cos\alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2}$

$\alpha = -\frac{\pi}{6}$

したがって、関数は $y = 2\sqrt{3}\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ と表せる。

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で、$-\frac{\pi}{6} \leq \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{11\pi}{6}$ となる。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ の最大値は1で、そのとき $\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ である。

このときの $y$ の最大値は $2\sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$ となる。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$ の最小値は-1で、そのとき $\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$ より $\theta = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$ である。

このときの $y$ の最小値は $2\sqrt{3} \cdot (-1) = -2\sqrt{3}$ となる。

3. 最終的な答え

最大値：$2\sqrt{3}$ ($\theta = \frac{2\pi}{3}$ のとき)

最小値：$-2\sqrt{3}$ ($\theta = \frac{5\pi}{3}$ のとき)