与えられた曲線上の点における接線の方程式を求める問題です。問題は2つあり、それぞれ関数$f(x)$と点$(a, f(a))$が与えられています。 (1) $f(x) = -x^2 + x - 2$, 点 $(-1, -4)$ (2) $f(x) = -x^3 + x^2 + 2$, 点 $(1, 2)$

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点における接線の方程式を求める問題です。問題は2つあり、それぞれ関数$f(x)$と点$(a, f(a))$が与えられています。

(1) $f(x) = -x^2 + x - 2$, 点 $(-1, -4)$

(2) $f(x) = -x^3 + x^2 + 2$, 点 $(1, 2)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -x^2 + x - 2$ の場合

- まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

- 次に、$x = -1$ における $f'(-1)$ を計算します。これは接線の傾きを表します。

- 最後に、点 $(-1, -4)$ を通り、傾き $f'(-1)$ を持つ直線の方程式を求めます。これは接線の方程式になります。

(2) $f(x) = -x^3 + x^2 + 2$ の場合

- まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

- 次に、$x = 1$ における $f'(1)$ を計算します。これは接線の傾きを表します。

- 最後に、点 $(1, 2)$ を通り、傾き $f'(1)$ を持つ直線の方程式を求めます。これは接線の方程式になります。

(1) の詳細な解き方:

- $f(x) = -x^2 + x - 2$ より、$f'(x) = -2x + 1$

- $f'(-1) = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3$

- 接線の方程式は $y - (-4) = 3(x - (-1))$ より、$y + 4 = 3(x + 1)$

- $y + 4 = 3x + 3$ より、$y = 3x - 1$

(2) の詳細な解き方:

- $f(x) = -x^3 + x^2 + 2$ より、$f'(x) = -3x^2 + 2x$

- $f'(1) = -3(1)^2 + 2(1) = -3 + 2 = -1$

- 接線の方程式は $y - 2 = -1(x - 1)$ より、$y - 2 = -x + 1$

- $y = -x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x - 1$

(2) $y = -x + 3$