関数 $f(x) = -x^2 + 2x - 3$ の、$x = 2$ における微分係数を、微分の定義に従って求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2x - 3$ の、$x = 2$ における微分係数を、微分の定義に従って求めます。

2. 解き方の手順

微分の定義は次の通りです。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

この問題では、$a = 2$ なので、$f'(2)$ を求めることになります。

まず、$f(2+h)$ を計算します。

$f(2+h) = -(2+h)^2 + 2(2+h) - 3 = -(4 + 4h + h^2) + 4 + 2h - 3 = -4 - 4h - h^2 + 4 + 2h - 3 = -h^2 - 2h - 3$

次に、$f(2)$ を計算します。

$f(2) = -(2)^2 + 2(2) - 3 = -4 + 4 - 3 = -3$

次に、$f(2+h) - f(2)$ を計算します。

$f(2+h) - f(2) = (-h^2 - 2h - 3) - (-3) = -h^2 - 2h - 3 + 3 = -h^2 - 2h$

次に、$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ を計算します。

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{-h^2 - 2h}{h} = -h - 2$

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ を計算します。

$f'(2) = \lim_{h \to 0} (-h - 2) = -0 - 2 = -2$

3. 最終的な答え

$f'(2) = -2$