実数 $a$ に対し、数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が $a_n = (-1)^n a$ で定義されるとき、この数列が収束しないことを証明する。証明中の空欄ア〜エを埋める。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対し、数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が $a_n = (-1)^n a$ で定義されるとき、この数列が収束しないことを証明する。証明中の空欄ア〜エを埋める。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ が実数 $\alpha$ に収束すると仮定する。

このとき、任意の正の実数 $\epsilon$ に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$N$ 以上の全ての自然数 $n$ に対して $|a_n - \alpha| < \epsilon$ を満たす。したがって、空欄アは「ある」、空欄イは「すべての」が当てはまる。

特に、正の実数 $a$ に対して、ある自然数 $N_0$ が存在して、$N_0$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して $|a_n - \alpha| < a$ を満たす。

よって、$N_0$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して、

$|a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha| < a + a = 2a$

が成り立つ。

一方、すべての自然数 $n$ に対して、実数の絶対値に関する三角不等式より、

$|a_{2n} - \alpha| + |a_{2n+1} - \alpha| \geq |(a_{2n} - \alpha) + (\alpha - a_{2n+1})| = |a_{2n} - a_{2n+1}|$

ここで、$a_{2n} = (-1)^{2n} a = a$ であり、$a_{2n+1} = (-1)^{2n+1} a = -a$ であるから、

$|a_{2n} - a_{2n+1}| = |a - (-a)| = |2a| = 2a$.

したがって、空欄ウは$\geq$であり、空欄エは$2a$となる。

$2a < 2a$となり、これは矛盾である。したがって、実数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ は収束しない。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：1

ウ：2

エ：2