関数 $f(x) = -x^2 + 2x - 3$ の $x=2$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求める問題です。微分係数の定義は、$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ で与えられます。この問題では、$a=2$ です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2x - 3$ の $x=2$ における微分係数を、微分係数の定義に従って求める問題です。微分係数の定義は、$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ で与えられます。この問題では、$a=2$ です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = -x^2 + 2x - 3$ に $x = 2+h$ を代入して、$f(2+h)$ を求めます。

$f(2+h) = -(2+h)^2 + 2(2+h) - 3$

$= -(4 + 4h + h^2) + 4 + 2h - 3$

$= -4 - 4h - h^2 + 4 + 2h - 3$

$= -h^2 - 2h - 3$

次に、$f(2)$ を求めます。

$f(2) = -(2)^2 + 2(2) - 3 = -4 + 4 - 3 = -3$

次に、$f(2+h) - f(2)$ を求めます。

$f(2+h) - f(2) = (-h^2 - 2h - 3) - (-3) = -h^2 - 2h$

次に、$\frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ を求めます。

$\frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{-h^2 - 2h}{h} = -h - 2$

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \lim_{h \to 0} (-h - 2)$ を計算します。

$\lim_{h \to 0} (-h - 2) = -0 - 2 = -2$

したがって、$f'(2) = -2$ となります。

3. 最終的な答え

-2