放物線 $C: y = 3 - 4x^2$ と直線 $l: y = -4x - 1$ の交点の $x$ 座標を求め、Cとlで囲まれた図形の面積を求めよ。

## 問10

1. 問題の内容

放物線 $C: y = 3 - 4x^2$ と直線 $l: y = -4x - 1$ の交点の $x$ 座標を求め、Cとlで囲まれた図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点の $x$ 座標を求める。

$3 - 4x^2 = -4x - 1$

$4x^2 - 4x - 4 = 0$

$x^2 - x - 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

次に、Cとlで囲まれた図形の面積を求める。積分区間は $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ から $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ である。

求める面積を $S$ とすると、

$S = \int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} ((3 - 4x^2) - (-4x - 1)) dx$

$S = \int_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} (-4x^2 + 4x + 4) dx$

$S = \left[ -\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + 4x \right]_{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

$S = \left( -\frac{4}{3} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^3 + 2 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^2 + 4 \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \right) - \left( -\frac{4}{3} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^3 + 2 \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^2 + 4 \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) \right)$

計算を簡単にするために $a = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ と $b = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ と置くと

$S = \left[ -\frac{4}{3}x^3 + 2x^2 + 4x \right]_{b}^{a}$

$S = \left(-\frac{4}{3} a^3 + 2a^2 + 4a \right) - \left(-\frac{4}{3} b^3 + 2b^2 + 4b \right)$

$S = -\frac{4}{3} (a^3 - b^3) + 2(a^2 - b^2) + 4(a-b)$

$S = -\frac{4}{3} (a-b)(a^2 + ab + b^2) + 2(a-b)(a+b) + 4(a-b)$

$a-b = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$a+b = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1$

$ab = (\frac{1 + \sqrt{5}}{2})(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}) = \frac{1 - 5}{4} = -1$

$a^2 + ab + b^2 = (a+b)^2 - ab = 1^2 - (-1) = 2$

$S = -\frac{4}{3} (\sqrt{5})(2) + 2(\sqrt{5})(1) + 4\sqrt{5}$

$S = -\frac{8}{3} \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5}$

$S = (-\frac{8}{3} + 6) \sqrt{5}$

$S = \frac{10}{3} \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

交点のx座標は $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ であり、

Cとlで囲まれた図形の面積は $\frac{10\sqrt{5}}{3}$ である。

## 問11

省略

## 問12

1. 問題の内容

点(0, 0) から曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ ($x > 0$) に引いた接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

接点を $(t, \frac{\log t}{t})$ と置く。

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

接線の方程式は $y - \frac{\log t}{t} = \frac{1 - \log t}{t^2} (x - t)$

点 $(0, 0)$ を通るため、$0 - \frac{\log t}{t} = \frac{1 - \log t}{t^2} (0 - t)$

$-\frac{\log t}{t} = \frac{1 - \log t}{t^2} (-t)$

$-\frac{\log t}{t} = -\frac{1 - \log t}{t}$

$\log t = 1 - \log t$

$2\log t = 1$

$\log t = \frac{1}{2}$

$t = e^{1/2} = \sqrt{e}$

接点の座標は $(\sqrt{e}, \frac{\log \sqrt{e}}{\sqrt{e}}) = (\sqrt{e}, \frac{1/2}{\sqrt{e}}) = (\sqrt{e}, \frac{1}{2\sqrt{e}})$

接線の傾きは $\frac{1 - \log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \frac{1 - 1/2}{e} = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e}$

求める接線の方程式は $y = \frac{1}{2e}x$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は $y = \frac{1}{2e} x$

## 最終回答

問

1

0. 交点のx座標は $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ であり、

Cとlで囲まれた図形の面積は $\frac{10\sqrt{5}}{3}$ である。

問

1

1. 省略

問

1

2. 求める接線の方程式は $y = \frac{1}{2e} x$