関数 $\log x$ を、$x=1$ の近傍で $x$ の5次までテイラー展開せよ。

1. 問題の内容

関数 $\log x$ を、$x=1$ の近傍で $x$ の5次までテイラー展開せよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = \log x$ とする。テイラー展開は、

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

で与えられる。今回は $a=1$ なので、

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n$$

を計算すれば良い。必要な微分を計算する。

\begin{align*}

f(x) &= \log x & f(1) &= 0 \\

f'(x) &= \frac{1}{x} & f'(1) &= 1 \\

f''(x) &= -\frac{1}{x^2} & f''(1) &= -1 \\

f'''(x) &= \frac{2}{x^3} & f'''(1) &= 2 \\

f^{(4)}(x) &= -\frac{6}{x^4} & f^{(4)}(1) &= -6 \\

f^{(5)}(x) &= \frac{24}{x^5} & f^{(5)}(1) &= 24

\end{align*}

したがって、

\begin{align*}

\log x &= 0 + \frac{1}{1!}(x-1) + \frac{-1}{2!}(x-1)^2 + \frac{2}{3!}(x-1)^3 + \frac{-6}{4!}(x-1)^4 + \frac{24}{5!}(x-1)^5 + \dots \\

&= (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5 + \dots

\end{align*}

$x$ の5次までのテイラー展開なので、

$$\log x \approx (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5$$

3. 最終的な答え

$$\log x \approx (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5$$