$a$を定数とする。関数 $y = \frac{1}{2}x^3 - \frac{15}{4}x^2 + 8x + 5$ のグラフと直線 $y = 2x + a$ が共有点を3個もち、それらの $x$ 座標がすべて正の数となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。関数 $y = \frac{1}{2}x^3 - \frac{15}{4}x^2 + 8x + 5$ のグラフと直線 $y = 2x + a$ が共有点を3個もち、それらの $x$ 座標がすべて正の数となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの関数の交点の $x$ 座標を求めるために、方程式を立てる。

$\frac{1}{2}x^3 - \frac{15}{4}x^2 + 8x + 5 = 2x + a$

この方程式を整理する。

$\frac{1}{2}x^3 - \frac{15}{4}x^2 + 6x + 5 - a = 0$

両辺に4を掛けて、係数を整数にする。

$2x^3 - 15x^2 + 24x + 20 - 4a = 0$

$f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 20 - 4a$ とおく。

$f'(x) = 6x^2 - 30x + 24$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$6x^2 - 30x + 24 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x-1)(x-4) = 0$

$x = 1, 4$

$x=1$と$x=4$で極値を持つ。

$f(1) = 2 - 15 + 24 + 20 - 4a = 31 - 4a$

$f(4) = 2(64) - 15(16) + 24(4) + 20 - 4a = 128 - 240 + 96 + 20 - 4a = 4 - 4a$

3つの実数解をもつためには、$f(1) > 0$ かつ $f(4) < 0$ である必要がある。

$31 - 4a > 0$ かつ $4 - 4a < 0$

$4a < 31$ かつ $4a > 4$

$a < \frac{31}{4}$ かつ $a > 1$

また、3つの解が全て正の数となるためには、$f(0) = 20 - 4a > 0$ である必要はない. なぜなら、 $x=1,4$ が極値を与える $x$ 座標であり、$f(1)>0, f(4)<0$ であることから、3つの解はすべて正となる.

したがって、$1 < a < \frac{31}{4}$

3. 最終的な答え

$1 < a < \frac{31}{4}$