以下の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})$

まず、有理化を行います。

$\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} = \frac{(\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})(\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2})}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}}$

$= \frac{(n^2 + 3n + 2) - (n^2 - 3n + 2)}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}} = \frac{6n}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}}$

次に、分母と分子を$n$で割ります。

$\frac{6n}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}} = \frac{6}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{3}{n} \to 0$、$\frac{2}{n^2} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{6}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}} = \frac{6}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{6}{2} = 3$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}}$

与式を整理します。

$\frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}} = \frac{\frac{3^n}{3} - 16 \cdot 4^n}{8 \cdot 4^n + 9 \cdot 3^n} = \frac{\frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4})^n - 16}{8 + 9 (\frac{3}{4})^n}$

$n \to \infty$のとき、$(\frac{3}{4})^n \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3} \cdot (\frac{3}{4})^n - 16}{8 + 9 (\frac{3}{4})^n} = \frac{0 - 16}{8 + 0} = \frac{-16}{8} = -2$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{\frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^4}{n^4 + 2n^3 + n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{2}{n} \to 0$、$\frac{1}{n^2} \to 0$なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{4}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{4}{1 + 0 + 0} = 4$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) -2

(3) 4