与えられた曲線上の点における接線と法線の方程式を求める問題です。 (1) 楕円 $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$ 上の点 A(3, 1) における接線と法線の方程式を求めます。 (2) 双曲線 $xy = 8$ 上の点 A(2, 4) における接線と法線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた曲線上の点における接線と法線の方程式を求める問題です。

(1) 楕円 $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$ 上の点 A(3, 1) における接線と法線の方程式を求めます。

(2) 双曲線 $xy = 8$ 上の点 A(2, 4) における接線と法線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 楕円 $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$ 上の点 A(3, 1) における接線と法線の方程式を求める。

* 接線の方程式:

楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ で与えられます。

したがって、$\frac{3x}{12} + \frac{1y}{4} = 1$ より、$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$。これを整理すると、$x + y = 4$。

よって、接線の方程式は $y = -x + 4$。

* 法線の方程式:

法線は接線と直交し、点 A(3, 1) を通ります。接線の傾きは -1 なので、法線の傾きは 1 です。

したがって、法線の方程式は $y - 1 = 1(x - 3)$ より、$y = x - 2$。

(2) 双曲線 $xy = 8$ 上の点 A(2, 4) における接線と法線の方程式を求める。

* 接線の方程式:

$xy = c$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1y + y_1x = 2c$ で与えられます。

$xy = 8$ 上の点 (2, 4) における接線は $2y + 4x = 16$。これを整理すると $y + 2x = 8$。

よって、接線の方程式は $y = -2x + 8$。

* 法線の方程式:

法線は接線と直交し、点 A(2, 4) を通ります。接線の傾きは -2 なので、法線の傾きは $\frac{1}{2}$ です。

したがって、法線の方程式は $y - 4 = \frac{1}{2}(x - 2)$ より、$y = \frac{1}{2}x + 3$。

3. 最終的な答え

(1) 楕円 $\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1$ 上の点 A(3, 1) における

* 接線の方程式: $y = -x + 4$

* 法線の方程式: $y = x - 2$

(2) 双曲線 $xy = 8$ 上の点 A(2, 4) における

* 接線の方程式: $y = -2x + 8$

* 法線の方程式: $y = \frac{1}{2}x + 3$