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与えられた関数 $f(x) = e^{-x/3}$ について、以下の問題を解く。 1. $x$ の3次の項までマクローリン展開する。 2. $x$ の4次の項の剰余項 $R_4$ を $\theta$ ($0 < \theta < 1$) を用いて表す。 3. 1. の結果を用いて、$1/\sqrt[3]{e}$ の3次までの近似値を分数で求める。 4. 2. の剰余項の結果を用いて、$e < 3$ および $0 < \theta < 1$ であることを用いて誤差 $R_4$ の範囲を分数で評価する。

解析学マクローリン展開テイラー展開剰余項近似値誤差評価指数関数
2025/6/10

1. 問題の内容

与えられた関数 f(x)=e−x/3f(x) = e^{-x/3} について、以下の問題を解く。

1. $x$ の3次の項までマクローリン展開する。

2. $x$ の4次の項の剰余項 $R_4$ を $\theta$ ($0 < \theta < 1$) を用いて表す。

3.

1. の結果を用いて、$1/\sqrt[3]{e}$ の3次までの近似値を分数で求める。

4.

2. の剰余項の結果を用いて、$e < 3$ および $0 < \theta < 1$ であることを用いて誤差 $R_4$ の範囲を分数で評価する。

2. 解き方の手順

1. **マクローリン展開:**

与えられた関数 f(x)=e−x/3f(x) = e^{-x/3} をマクローリン展開する。そのためには、導関数を計算し、x=0x=0 における値を求める必要がある。
f(x)=e−x/3f(x) = e^{-x/3}
f′(x)=−13e−x/3f'(x) = -\frac{1}{3}e^{-x/3}
f′′(x)=19e−x/3f''(x) = \frac{1}{9}e^{-x/3}
f′′′(x)=−127e−x/3f'''(x) = -\frac{1}{27}e^{-x/3}
x=0x=0 における値を計算する。
f(0)=1f(0) = 1
f′(0)=−13f'(0) = -\frac{1}{3}
f′′(0)=19f''(0) = \frac{1}{9}
f′′′(0)=−127f'''(0) = -\frac{1}{27}
したがって、3次の項までのマクローリン展開は、
f(x)≈f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3
f(x)≈1−13x+118x2−1162x3f(x) \approx 1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{18}x^2 - \frac{1}{162}x^3

2. **剰余項の計算:**

剰余項 R4R_4 は、次の式で与えられる。
R4=f(4)(θx)4!x4R_4 = \frac{f^{(4)}(\theta x)}{4!}x^4
ここで、f(4)(x)=181e−x/3f^{(4)}(x) = \frac{1}{81}e^{-x/3} なので、
R4=e−θx/381⋅4!x4=e−θx/31944x4R_4 = \frac{e^{-\theta x/3}}{81 \cdot 4!}x^4 = \frac{e^{-\theta x/3}}{1944}x^4

3. **近似値の計算:**

1/e3=e−1/31/\sqrt[3]{e} = e^{-1/3} なので、x=1x = 1 をマクローリン展開に代入する。
e−1/3≈1−13(1)+118(1)2−1162(1)3e^{-1/3} \approx 1 - \frac{1}{3}(1) + \frac{1}{18}(1)^2 - \frac{1}{162}(1)^3
e−1/3≈1−13+118−1162=162−54+9−1162=116162=5881e^{-1/3} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{18} - \frac{1}{162} = \frac{162 - 54 + 9 - 1}{162} = \frac{116}{162} = \frac{58}{81}

4. **誤差の範囲の評価:**

x=1x = 1 を剰余項に代入すると、
R4=e−θ/31944R_4 = \frac{e^{-\theta /3}}{1944}
0<θ<10 < \theta < 1 なので、0<θ/3<1/30 < \theta/3 < 1/3 となる。したがって、−1/3<−θ/3<0-1/3 < -\theta/3 < 0 である。
指数関数は単調増加なので、e−1/3<e−θ/3<e0=1e^{-1/3} < e^{-\theta/3} < e^0 = 1 となる。
e<3e < 3 より、e−1/3>e−1e^{-1/3} > e^{-1} となる。
よって、
e−θ/3<1e^{-\theta / 3} < 1 より、
R4<11944R_4 < \frac{1}{1944}
また、e−1/3<e−θ/3 e^{-1/3} < e^{-\theta/3} なので、
R4>e−1/31944R_4 > \frac{e^{-1/3}}{1944}
e−1/3<1 e^{-1/3} < 1 より
e−1/31944<R4<11944\frac{e^{-1/3}}{1944} < R_4 < \frac{1}{1944}

3. 最終的な答え

1. $f(x) \approx 1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{18}x^2 - \frac{1}{162}x^3$

2. $R_4 = \frac{e^{-\theta x/3}}{1944}x^4$

3. $\frac{1}{\sqrt[3]{e}} \approx \frac{58}{81}$

4. $\frac{e^{-\frac{1}{3}}}{1944} < R_4 < \frac{1}{1944}$

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