3つの問題があります。 問7: 不等式 $\log_2(x-1) - \log_{\frac{1}{2}}(x+3) < 3 + \log_2 x$ を満たす $x$ の範囲を求めます。 問8: 関数 $y = -(9^x + 9^{-x}) + 2 \cdot 3^{x+1} + 6 \cdot 3^{-x}$ について、$3^x + 3^{-x} = t$ とおいたときの $t$ の範囲と、$y$ の最大値を求めます。 問9: 関数 $f(x) = x^3 - ax^2 + 2ax + 3$ が極値を持つような実数 $a$ の条件を求めます。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

問7: 不等式 $\log_2(x-1) - \log_{\frac{1}{2}}(x+3) < 3 + \log_2 x$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

問8: 関数 $y = -(9^x + 9^{-x}) + 2 \cdot 3^{x+1} + 6 \cdot 3^{-x}$ について、$3^x + 3^{-x} = t$ とおいたときの $t$ の範囲と、$y$ の最大値を求めます。

問9: 関数 $f(x) = x^3 - ax^2 + 2ax + 3$ が極値を持つような実数 $a$ の条件を求めます。

2. 解き方の手順

問7:

まず、対数の定義から $x-1 > 0$, $x+3 > 0$, $x > 0$ である必要があるので、$x > 1$ である必要があります。

$\log_{\frac{1}{2}}(x+3) = \frac{\log_2 (x+3)}{\log_2 \frac{1}{2}} = - \log_2 (x+3)$ であることを用いると、不等式は

$\log_2 (x-1) + \log_2 (x+3) < 3 + \log_2 x$ となります。

$\log_2 ((x-1)(x+3)) < \log_2 8x$

$(x-1)(x+3) < 8x$

$x^2 + 2x - 3 < 8x$

$x^2 - 6x - 3 < 0$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36+12}}{2} = 3 \pm \sqrt{12} = 3 \pm 2\sqrt{3}$

よって、$3 - 2\sqrt{3} < x < 3 + 2\sqrt{3}$ となります。ここで、$x > 1$ である必要があるため、 $1 < x < 3 + 2\sqrt{3}$ となります。

$2\sqrt{3} \approx 3.46$ なので、$3+2\sqrt{3} \approx 6.46$となります。

$x$ の範囲を考えると、$1<x<3+2\sqrt{3}$ となります。

問8:

$t = 3^x + 3^{-x}$ です。$3^x > 0$ かつ $3^{-x} > 0$ であるので、相加相乗平均の不等式より、

$\frac{3^x + 3^{-x}}{2} \ge \sqrt{3^x \cdot 3^{-x}} = 1$

$3^x + 3^{-x} \ge 2$

よって、$t \ge 2$ となります。

$y = -( (3^x)^2 + (3^{-x})^2 ) + 6 \cdot 3^x + 6 \cdot 3^{-x}$

$y = -( (3^x + 3^{-x})^2 - 2 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} ) + 6(3^x + 3^{-x})$

$y = -(t^2 - 2) + 6t$

$y = -t^2 + 6t + 2$

$y = -(t^2 - 6t) + 2$

$y = -( (t-3)^2 - 9 ) + 2$

$y = -(t-3)^2 + 11$

$t \ge 2$ なので、$t=3$ のとき、$y$ は最大値 11 を取ります。

問9:

$f(x) = x^3 - ax^2 + 2ax + 3$

$f'(x) = 3x^2 - 2ax + 2a$

$f(x)$ が極値を持つためには、$f'(x) = 0$ となる実数解を少なくとも2つ持つ必要があります。つまり、$f'(x) = 0$ の判別式 $D > 0$ である必要があります。

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2a = 4a^2 - 24a = 4a(a-6) > 0$

よって、$a < 0$ または $6 < a$ となります。

3. 最終的な答え

問7: $1 < x < 3+2\sqrt{3}$ よって、 28:1, 29:3+2√3

問8: 32:2, 33:1, 34:1

問9: 35:0, 36:6