与えられた無限級数の和を求める問題です。 級数は $\frac{1}{1\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} + \cdots$ で与えられます。

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求める問題です。

級数は

$\frac{1}{1\cdot 4} + \frac{1}{4\cdot 7} + \frac{1}{7\cdot 10} + \cdots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} + \cdots$

で与えられます。

2. 解き方の手順

この無限級数の和を求めるために、部分分数分解を利用します。

一般項$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$を部分分数に分解すると、

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}$

となります。両辺に$(3n-2)(3n+1)$を掛けると、

$1 = A(3n+1) + B(3n-2)$

となります。

$n = \frac{2}{3}$を代入すると、$1 = A(2+1) = 3A$より、$A = \frac{1}{3}$です。

$n = -\frac{1}{3}$を代入すると、$1 = B(-1-2) = -3B$より、$B = -\frac{1}{3}$です。

したがって、

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

となります。

部分和$S_n$は、

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{(3k-2)(3k+1)} = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{3k-2} - \frac{1}{3k+1} \right)$

$= \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right) \right]$

$= \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right)$

無限級数の和は、部分和の極限として求められます。

$\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right) = \frac{1}{3} (1 - 0) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$