$\log x$ を $x=1$ の近傍で $x$ の 5 次までテイラー展開せよ。

1. 問題の内容

$\log x$ を $x=1$ の近傍で $x$ の 5 次までテイラー展開せよ。

2. 解き方の手順

$\log x$ の $x=1$ におけるテイラー展開を求める。

テイラー展開の公式は以下の通りである。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$

ここで、$f(x) = \log x$、$a=1$ である。

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$f(x) = \log x$

$f(1) = \log 1 = 0$

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$f'(1) = 1$

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

$f''(1) = -1$

$f'''(x) = \frac{2}{x^3}$

$f'''(1) = 2$

$f''''(x) = -\frac{6}{x^4}$

$f''''(1) = -6$

$f'''''(x) = \frac{24}{x^5}$

$f'''''(1) = 24$

これらの値をテイラー展開の公式に代入する。

$\log x = \frac{0}{0!} (x-1)^0 + \frac{1}{1!} (x-1)^1 + \frac{-1}{2!} (x-1)^2 + \frac{2}{3!} (x-1)^3 + \frac{-6}{4!} (x-1)^4 + \frac{24}{5!} (x-1)^5 + \cdots$

$\log x = (x-1) - \frac{1}{2} (x-1)^2 + \frac{1}{3} (x-1)^3 - \frac{1}{4} (x-1)^4 + \frac{1}{5} (x-1)^5 + \cdots$

$x$ の 5 次までのテイラー展開なので、以下のようになる。

$\log x \approx (x-1) - \frac{1}{2} (x-1)^2 + \frac{1}{3} (x-1)^3 - \frac{1}{4} (x-1)^4 + \frac{1}{5} (x-1)^5$

3. 最終的な答え

$\log x \approx (x-1) - \frac{1}{2} (x-1)^2 + \frac{1}{3} (x-1)^3 - \frac{1}{4} (x-1)^4 + \frac{1}{5} (x-1)^5$