問題は以下の3つの導関数または2階導関数を求める問題です。ここで、$f(x)$ は与えられた関数であり、(1)と(2)では連続、(3)では微分可能と仮定されています。 (1) $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt$ (2) $\frac{d}{dx} \int_{2x}^{2x+1} f(t) dt$ (3) $\frac{d^2}{dx^2} \int_{a}^{x} (x-t) f(t) dt$

1. 問題の内容

問題は以下の3つの導関数または2階導関数を求める問題です。ここで、$f(x)$ は与えられた関数であり、(1)と(2)では連続、(3)では微分可能と仮定されています。

(1) $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt$

(2) $\frac{d}{dx} \int_{2x}^{2x+1} f(t) dt$

(3) $\frac{d^2}{dx^2} \int_{a}^{x} (x-t) f(t) dt$

2. 解き方の手順

(1) 微積分学の基本定理より、$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ となります。

(2) ライプニッツの積分法則と合成関数の微分を用いる必要があります。

$F(x) = \int_{2x}^{2x+1} f(t) dt$ とおくと、$F(x) = G(2x+1) - G(2x)$ (ただし $G'(t) = f(t)$)。

よって、$\frac{dF}{dx} = G'(2x+1) \cdot 2 - G'(2x) \cdot 2 = 2f(2x+1) - 2f(2x)$ となります。

(3) まず、積分を分解します。

$\int_{a}^{x} (x-t) f(t) dt = \int_{a}^{x} x f(t) dt - \int_{a}^{x} t f(t) dt = x \int_{a}^{x} f(t) dt - \int_{a}^{x} t f(t) dt$

次に、$x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \left( x \int_{a}^{x} f(t) dt - \int_{a}^{x} t f(t) dt \right) = \int_{a}^{x} f(t) dt + x f(x) - x f(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$

さらに、$x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$

(2) $2f(2x+1) - 2f(2x)$

(3) $f(x)$