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$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$のとき、$\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}}$であることを示す。

解析学微分陰関数微分導関数数式処理
2025/6/10

1. 問題の内容

x23+y23=1x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1のとき、dydx=−(yx)13\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}}であることを示す。

2. 解き方の手順

陰関数微分を用いてdydx\frac{dy}{dx}を求める。
まず、x23+y23=1x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1をxxで微分する。
ddx(x23+y23)=ddx(1)\frac{d}{dx}(x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{dx}(1)
23x−13+23y−13dydx=0\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx} = 0
23y−13dydx=−23x−13\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}
dydx=−23x−1323y−13\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}}{\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}}
dydx=−x−13y−13\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}}
dydx=−y13x13\frac{dy}{dx} = -\frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}
dydx=−(yx)13\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}}

3. 最終的な答え

dydx=−(yx)13\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}}

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