次の定積分の値を求めます。 $\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}) dx$

## 問題 8 (2)

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めます。

$\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}) dx$

2. 解き方の手順

与えられた定積分を計算します。

まず、積分を分割します。

$\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}) dx = \int_{1}^{2} \frac{2}{x} dx + \int_{1}^{2} \frac{3}{x^2} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \frac{2}{x} dx = 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = 2[\ln|x|]_{1}^{2} = 2(\ln2 - \ln1) = 2(\ln2 - 0) = 2\ln2$

$\int_{1}^{2} \frac{3}{x^2} dx = 3 \int_{1}^{2} x^{-2} dx = 3 [\frac{x^{-1}}{-1}]_{1}^{2} = 3 [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = 3(-\frac{1}{2} - (-1)) = 3(-\frac{1}{2} + 1) = 3(\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

したがって、

$\int_{1}^{2} (\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}) dx = 2\ln2 + \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$2\ln2 + \frac{3}{2}$