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問題は以下の通りです。空欄を埋める問題です。 $$\sqrt{1+x} - 2 < [\sqrt{1+x}] \le \sqrt{3+x}$$ であるとき、 $$\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{1+x}] - 1}{\sqrt{x}} = 4$$ 上記の式を満たすような空欄1, 2, 3, 4を答える問題です。ここで$[x]$は$x$を超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

解析学極限ガウス記号不等式関数の評価
2025/6/12

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。空欄を埋める問題です。
1+x−2<[1+x]≤3+x\sqrt{1+x} - 2 < [\sqrt{1+x}] \le \sqrt{3+x}
であるとき、
lim⁡x→∞[1+x]−1x=4\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{1+x}] - 1}{\sqrt{x}} = 4
上記の式を満たすような空欄1, 2, 3, 4を答える問題です。ここで[x][x]はxxを超えない最大の整数（ガウス記号）を表します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式について考えます。x→∞x \to \inftyの極限を考えるので、xxは十分大きいと仮定します。
xxが十分大きいとき、1+x≈x\sqrt{1+x} \approx \sqrt{x} となります。したがって、[1+x][\sqrt{1+x}] は x\sqrt{x} に近い値をとることが予想されます。
[1+x][\sqrt{1+x}] は整数なので、[1+x]=n[\sqrt{1+x}] = n (整数) とおくと、
n≤1+x<n+1n \le \sqrt{1+x} < n+1 となります。
したがって、n2≤1+x<(n+1)2n^2 \le 1+x < (n+1)^2
n2−1≤x<(n+1)2−1n^2 - 1 \le x < (n+1)^2 - 1
与えられた不等式は、
1+x−2<[1+x]≤3+x\sqrt{1+x} - 2 < [\sqrt{1+x}] \le \sqrt{3+x}
1+x−2<n≤3+x\sqrt{1+x} - 2 < n \le \sqrt{3+x}
n≤3+xn \le \sqrt{3+x} より、n2≤3+xn^2 \le 3+x
n2−3≤xn^2 - 3 \le x
1+x−2<n\sqrt{1+x} - 2 < n より、1+x<n+2\sqrt{1+x} < n+2
1+x<(n+2)21+x < (n+2)^2
x<(n+2)2−1x < (n+2)^2 - 1
したがって、n2−3≤x<(n+2)2−1n^2 - 3 \le x < (n+2)^2 - 1
ここで、lim⁡x→∞[1+x]−1x=lim⁡x→∞n−1x=4\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{1+x}] - 1}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{n-1}{\sqrt{x}} = 4 となることを利用します。
n≈1+x≈xn \approx \sqrt{1+x} \approx \sqrt{x} なので、lim⁡x→∞x−1x=1≠4\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}} = 1 \ne 4 より、極限が4となる条件を見つける必要があります。
n=[1+x]n=[\sqrt{1+x}]だから、nnは1+x\sqrt{1+x}以下の最大の整数。xxが十分大きいとき、n≈xn \approx \sqrt{x}。
lim⁡x→∞[1+x]−1x=lim⁡x→∞1+x−ϵ−1x=4\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{1+x}] - 1}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x} - \epsilon - 1}{\sqrt{x}} = 4
ただし、0≤ϵ<10 \le \epsilon < 1。
1+x−ϵ−1≈x−ϵ−1\sqrt{1+x} - \epsilon - 1 \approx \sqrt{x} - \epsilon - 1 であるから、
lim⁡x→∞x−ϵ−1x=lim⁡x→∞(1−ϵ+1x)=1=4\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} - \epsilon - 1}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} (1 - \frac{\epsilon+1}{\sqrt{x}}) = 1 = 4
これは矛盾するので、lim⁡x→∞[1+x]−1x\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{1+x}]-1}{\sqrt{x}}が4になることはありえません。問題文に誤りがある可能性があります。
与えられた不等式は、
1+x−1<[1+x]≤1+x\sqrt{1+x} - 1 < [\sqrt{1+x}] \le \sqrt{1+x}を満たすと仮定します。
このとき[1+x]=⌊1+x⌋[\sqrt{1+x}] = \lfloor \sqrt{1+x} \rfloor
lim⁡x→∞[1+x]−1x=lim⁡x→∞1+x−1x=lim⁡x→∞1+xx−1x=lim⁡x→∞1x+1−1x=1\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{1+x}]-1}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1+x}{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}} = 1
仮に lim⁡x→∞[1+x]−1x=1\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{1+x}]-1}{\sqrt{x}} = 1であれば、
1,2,3,41, 2, 3, 4はそれぞれ1,1,1,11, 1, 1, 1。

3. 最終的な答え

問題文の条件を満たす答えは存在しないと考えられます。問題文に誤植がある可能性があります。仮にlim⁡x→∞[1+x]−1x=1\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{1+x}]-1}{\sqrt{x}} = 1であれば、
1: 1
2: 1
3: 1
4: 1
です。

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