与えられた関数 $f(x)$ の不定積分を求める問題です。積分定数は省略してもよいとします。具体的には、以下の関数について不定積分を求めます。 1. $f(x) = x$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の不定積分を求める問題です。積分定数は省略してもよいとします。具体的には、以下の関数について不定積分を求めます。

1. $f(x) = x$

2. $f(x) = 3^x$

3. $f(x) = x^4$

4. $f(x) = \frac{1}{x^3}$

5. $f(x) = \frac{1}{x} + \cos x$

6. $f(x) = 3\sin x$

7. $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{1}{x^4}$

8. $f(x) = 2^x + 3x^4$

2. 解き方の手順

各関数について不定積分を計算します。

1. $f(x) = x$ の不定積分:

$\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C$

積分定数を省略するので、$\frac{x^2}{2}$

2. $f(x) = 3^x$ の不定積分:

$\int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C$

積分定数を省略するので、$\frac{3^x}{\ln 3}$

3. $f(x) = x^4$ の不定積分:

$\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C$

積分定数を省略するので、$\frac{x^5}{5}$

4. $f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$ の不定積分:

$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$

積分定数を省略するので、$-\frac{1}{2x^2}$

5. $f(x) = \frac{1}{x} + \cos x$ の不定積分:

$\int (\frac{1}{x} + \cos x) \, dx = \int \frac{1}{x} \, dx + \int \cos x \, dx = \ln |x| + \sin x + C$

積分定数を省略するので、$\ln |x| + \sin x$

6. $f(x) = 3\sin x$ の不定積分:

$\int 3\sin x \, dx = 3 \int \sin x \, dx = -3\cos x + C$

積分定数を省略するので、$-3\cos x$

7. $f(x) = \frac{2}{\cos^2 x} - \frac{1}{x^4} = 2\sec^2 x - x^{-4}$ の不定積分:

$\int (2\sec^2 x - x^{-4}) \, dx = 2\int \sec^2 x \, dx - \int x^{-4} \, dx = 2\tan x - \frac{x^{-3}}{-3} + C = 2\tan x + \frac{1}{3x^3} + C$

積分定数を省略するので、$2\tan x + \frac{1}{3x^3}$

8. $f(x) = 2^x + 3x^4$ の不定積分:

$\int (2^x + 3x^4) \, dx = \int 2^x \, dx + 3 \int x^4 \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + 3\cdot \frac{x^5}{5} + C = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3x^5}{5} + C$

積分定数を省略するので、$\frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3x^5}{5}$

3. 最終的な答え

1. $\frac{x^2}{2}$

2. $\frac{3^x}{\ln 3}$

3. $\frac{x^5}{5}$

4. $-\frac{1}{2x^2}$

5. $\ln |x| + \sin x$

6. $-3\cos x$

7. $2\tan x + \frac{1}{3x^3}$

8. $\frac{2^x}{\ln 2} + \frac{3x^5}{5}$