与えられた関数の極限を計算します。 具体的には、$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}}{x}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限を計算します。

具体的には、$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}}{x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x$ が $0$ に近づくとき、$x+1$ は $1$ に近づき、$\sqrt{x+1}$ は $1$ に近づきます。

したがって、分子は $1$ に近づきます。

一方、分母は $0$ に近づきます。

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sqrt{x+1}}{x}$ を考えます。

$x$ が正の方向から $0$ に近づく場合（$x \to 0^+$）、$\frac{\sqrt{x+1}}{x}$ は正の無限大に発散します。

一方、$x$ が負の方向から $0$ に近づく場合（$x \to 0^-$）、$\frac{\sqrt{x+1}}{x}$ は負の無限大に発散します。

したがって、この極限は存在しません。

厳密には、右側極限と左側極限を調べる必要があります。

右側極限は

$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x+1}}{x} = +\infty$

左側極限は

$\lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x+1}}{x} = -\infty$

となります。

右側極限と左側極限が一致しないため、$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}}{x}$ は存在しません。

3. 最終的な答え

極限は存在しない（発散する）。