以下の3つの関数を微分する問題です。 (1) $y=(5x-2)^3$ (2) $y=(2x-1)(3x^2-x)$ (3) $y=\frac{x-1}{x+1}$

1. 問題の内容

以下の3つの関数を微分する問題です。

(1) $y=(5x-2)^3$

(2) $y=(2x-1)(3x^2-x)$

(3) $y=\frac{x-1}{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y=(5x-2)^3$ の微分：

合成関数の微分を使います。$u = 5x-2$ とすると、$y = u^3$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を使います。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = 5$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot 5 = 15u^2 = 15(5x-2)^2$

(2) $y=(2x-1)(3x^2-x)$ の微分：

積の微分を使います。$u = 2x-1$ , $v=3x^2-x$ とすると、$y=uv$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx}v + u\frac{dv}{dx}$ を使います。

$\frac{du}{dx} = 2$

$\frac{dv}{dx} = 6x-1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2(3x^2-x) + (2x-1)(6x-1) = 6x^2 - 2x + 12x^2 -2x -6x +1 = 18x^2 - 10x + 1$

(3) $y=\frac{x-1}{x+1}$ の微分：

商の微分を使います。$u = x-1$ , $v=x+1$ とすると、$y=\frac{u}{v}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{du}{dx}v - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ を使います。

$\frac{du}{dx} = 1$

$\frac{dv}{dx} = 1$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1(x+1) - (x-1)1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 15(5x-2)^2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 18x^2 - 10x + 1$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x+1)^2}$