関数 $f(x)$ が $f(x) = x^2 + 3x\int_0^1 f(t) dt$ を満たすとき、$f(x) = x^2 - kx$ (kは定数)の形で表される。与えられた情報から定数kの値を求める問題である。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = x^2 + 3x\int_0^1 f(t) dt$ を満たすとき、$f(x) = x^2 - kx$ (kは定数)の形で表される。与えられた情報から定数kの値を求める問題である。

2. 解き方の手順

$\int_0^1 f(t) dt$ は定数なので、これを $A$ とおく。つまり、

$$A = \int_0^1 f(t) dt$$

すると、$f(x) = x^2 + 3Ax$ となる。

この式を積分の中に入れると、

$$A = \int_0^1 (t^2 + 3At) dt$$

積分を実行すると、

$$A = \left[ \frac{t^3}{3} + \frac{3At^2}{2} \right]_0^1$$

$$A = \frac{1}{3} + \frac{3A}{2}$$

この $A$ についての一次方程式を解く。両辺に6をかけると、

$$6A = 2 + 9A$$

$$3A = -2$$

$$A = -\frac{2}{3}$$

したがって、

$$f(x) = x^2 + 3(-\frac{2}{3})x = x^2 - 2x$$

与えられた形 $f(x) = x^2 -kx$ と比較すると、$k=2$ である。

3. 最終的な答え

2