問題は、与えられた2つの積分を公式13.1, 13.4, 13.5を用いて計算することです。 (1) $\int \frac{x^{10}}{x^3} dx$ (2) $\int \sqrt[3]{x^{-4}} dx$

1. 問題の内容

問題は、与えられた2つの積分を公式13.1, 13.4, 13.5を用いて計算することです。

(1) $\int \frac{x^{10}}{x^3} dx$

(2) $\int \sqrt[3]{x^{-4}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x^{10}}{x^3} dx$ の計算

まず、被積分関数を簡略化します。

$\frac{x^{10}}{x^3} = x^{10-3} = x^7$

したがって、積分は

$\int x^7 dx$

公式13.1 (べき関数の積分): $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$)

ここで、$n = 7$なので、

$\int x^7 dx = \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = \frac{x^8}{8} + C$

(2) $\int \sqrt[3]{x^{-4}} dx$ の計算

まず、被積分関数を指数形式で表します。

$\sqrt[3]{x^{-4}} = (x^{-4})^{\frac{1}{3}} = x^{-\frac{4}{3}}$

したがって、積分は

$\int x^{-\frac{4}{3}} dx$

公式13.1 (べき関数の積分): $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$)

ここで、$n = -\frac{4}{3}$なので、

$\int x^{-\frac{4}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} + C = \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -3x^{-\frac{1}{3}} + C = -\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{x^{10}}{x^3} dx = \frac{x^8}{8} + C$

(2) $\int \sqrt[3]{x^{-4}} dx = -\frac{3}{\sqrt[3]{x}} + C$