原点Oから点A(12, 16, 20)に向かう線分をCとするとき、線積分 $\int_C (x + y + z) ds$ を求めよ。

1. 問題の内容

原点Oから点A(12, 16, 20)に向かう線分をCとするとき、線積分 $\int_C (x + y + z) ds$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、線分Cをパラメータ表示します。

点O(0, 0, 0)と点A(12, 16, 20)を結ぶ線分なので、パラメータ$t$ ($0 \le t \le 1$)を用いて次のように表せます。

$x = 12t$

$y = 16t$

$z = 20t$

次に、$ds$を計算します。

$ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 + (\frac{dz}{dt})^2} dt$

$\frac{dx}{dt} = 12$

$\frac{dy}{dt} = 16$

$\frac{dz}{dt} = 20$

よって、

$ds = \sqrt{12^2 + 16^2 + 20^2} dt = \sqrt{144 + 256 + 400} dt = \sqrt{800} dt = 20\sqrt{2} dt$

積分を計算します。

$\int_C (x + y + z) ds = \int_0^1 (12t + 16t + 20t) (20\sqrt{2}) dt = \int_0^1 (48t) (20\sqrt{2}) dt$

$= 960\sqrt{2} \int_0^1 t dt = 960\sqrt{2} [\frac{1}{2}t^2]_0^1 = 960\sqrt{2} (\frac{1}{2}) = 480\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$480\sqrt{2}$