問題は、方程式 $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} = 1$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$ であることを示すことです。

1. 問題の内容

問題は、方程式 $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} = 1$ が与えられたとき、$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$ であることを示すことです。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}} = 1$ を $x$ について陰関数微分します。

$\frac{d}{dx} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{dx} (1)$

$\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + \frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}} \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{-\frac{2}{3}}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$

$\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{2}{3}}$

$\frac{dy}{dx} = -\sqrt[3]{(\frac{y}{x})^2}$

しかし、求めるのは $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$ です。どこかに誤りがあるか、もしくは元の問題が間違っている可能性があります。

陰関数微分から得られた$\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{2}{3}}$ を使う場合、与えられた式 $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$ が正しいとは言えません。

問題文に誤植がないか確認することを推奨します。

元の画像から、問題文が $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$ であることを示せと書いてあるので、そのように進めます。

$\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} + \frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}} \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{2}{3}}}{y^{-\frac{2}{3}}} = -\frac{y^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} = -(\frac{y}{x})^{\frac{2}{3}}$

ここで、$\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{2}}$ であることを示したい。

もし問題文が正しければ、$(\frac{y}{x})^{\frac{2}{3}} = (\frac{y}{x})^{\frac{1}{2}}$

両辺を6乗すると、 $(\frac{y}{x})^4 = (\frac{y}{x})^3$

$\frac{y}{x} = 0$ または $\frac{y}{x} = 1$

しかしこれは一般的には成り立ちません。

やはり問題文に誤りがある可能性が高いです。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{2}{3}}$

与えられた問題文どおり $\frac{dy}{dx} = -\sqrt{\frac{y}{x}}$ であることを示すことはできません。