定積分 $\int_{0}^{2} |x^2 - 2| dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} |x^2 - 2| dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$|x^2 - 2|$ の絶対値を外すことを考えます。

$x^2 - 2 = 0$ を解くと、$x = \pm \sqrt{2}$ となります。

積分区間 $[0, 2]$ において、$0 \le x < \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 2 < 0$ なので、$|x^2 - 2| = -(x^2 - 2) = 2 - x^2$ となります。

$\sqrt{2} \le x \le 2$ のとき、$x^2 - 2 \ge 0$ なので、$|x^2 - 2| = x^2 - 2$ となります。

したがって、積分を分割します。

$\int_{0}^{2} |x^2 - 2| dx = \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - x^2) dx + \int_{\sqrt{2}}^{2} (x^2 - 2) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - x^2) dx = \left[ 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} - \frac{(\sqrt{2})^3}{3} = 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$\int_{\sqrt{2}}^{2} (x^2 - 2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x \right]_{\sqrt{2}}^{2} = \left( \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} - 2\sqrt{2} \right) = \frac{8}{3} - 4 - \frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} = -\frac{4}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3}$

したがって、

$\int_{0}^{2} |x^2 - 2| dx = \frac{4\sqrt{2}}{3} + \left( -\frac{4}{3} + \frac{4\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8\sqrt{2} - 4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8\sqrt{2} - 4}{3}$