関数 $y = e^{-2x} \sin 2x$ が微分方程式 $y'' + 4y' + 8y = 0$ を満たすことを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-2x} \sin 2x$ が微分方程式 $y'' + 4y' + 8y = 0$ を満たすことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = e^{-2x} \sin 2x$ を2回微分し、$y'$ と $y''$ を求めます。次に、$y'' + 4y' + 8y$ を計算し、その結果が0になることを示します。

(1) $y$ の1階微分 $y'$ を求めます。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$y' = (e^{-2x})' \sin 2x + e^{-2x} (\sin 2x)'$

$y' = -2e^{-2x} \sin 2x + e^{-2x} (2 \cos 2x)$

$y' = -2e^{-2x} \sin 2x + 2e^{-2x} \cos 2x$

$y' = 2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)$

(2) $y$ の2階微分 $y''$ を求めます。再び積の微分公式を用います。

$y'' = (2e^{-2x})' (\cos 2x - \sin 2x) + 2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)'$

$y'' = -4e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x) + 2e^{-2x} (-2\sin 2x - 2\cos 2x)$

$y'' = -4e^{-2x} \cos 2x + 4e^{-2x} \sin 2x - 4e^{-2x} \sin 2x - 4e^{-2x} \cos 2x$

$y'' = -8e^{-2x} \cos 2x$

(3) $y'' + 4y' + 8y$ を計算します。

$y'' + 4y' + 8y = -8e^{-2x} \cos 2x + 4(2e^{-2x} (\cos 2x - \sin 2x)) + 8(e^{-2x} \sin 2x)$

$y'' + 4y' + 8y = -8e^{-2x} \cos 2x + 8e^{-2x} \cos 2x - 8e^{-2x} \sin 2x + 8e^{-2x} \sin 2x$

$y'' + 4y' + 8y = 0$

したがって、$y = e^{-2x} \sin 2x$ は、$y'' + 4y' + 8y = 0$ を満たします。

3. 最終的な答え

$y'' + 4y' + 8y = 0$ を満たす。