定積分 $\int_{1}^{\frac{5}{2}}(x-1)(2x-5)dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{\frac{5}{2}}(x-1)(2x-5)dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を展開します。

$(x-1)(2x-5) = 2x^2 - 5x - 2x + 5 = 2x^2 - 7x + 5$

次に、この式を積分します。

$\int (2x^2 - 7x + 5) dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 5x + C$

ここで、定積分を計算するために、積分範囲の端点を代入します。

$\left[\frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 5x\right]_1^{\frac{5}{2}} = \left(\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^3 - \frac{7}{2}\left(\frac{5}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{2}\right)\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^3 - \frac{7}{2}(1)^2 + 5(1)\right)$

$\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{125}{8} - \frac{7}{2}\cdot\frac{25}{4} + \frac{25}{2}\right) - \left(\frac{2}{3} - \frac{7}{2} + 5\right)$

$\left(\frac{125}{12} - \frac{175}{8} + \frac{25}{2}\right) - \left(\frac{4}{6} - \frac{21}{6} + \frac{30}{6}\right)$

$\left(\frac{125}{12} - \frac{175}{8} + \frac{150}{4}\cdot\frac{3}{3}\right) - \left(\frac{13}{6}\right)$

$\left(\frac{250}{24} - \frac{525}{24} + \frac{900}{24}\right) - \frac{52}{24}$

$\frac{250 - 525 + 900}{24} - \frac{52}{24} = \frac{625}{24} - \frac{52}{24} = \frac{573}{24}$

$\frac{573}{24} = \frac{191}{8}$

$\frac{191}{8} = 23.875$

$\frac{191}{8} = \frac{191 \times 5}{8 \times 5} = \frac{955}{40} = 23 + \frac{35}{40}$

$\frac{191}{8}=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{2}\right)^3-\frac{7}{2}\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\left(\frac{5}{2}\right)-\left(\frac{2}{3}-\frac{7}{2}+5\right)$

$=\frac{125}{12}-\frac{175}{8}+\frac{25}{2}-\frac{2}{3}+\frac{7}{2}-5$

$=\frac{125}{12}-\frac{175}{8}+\frac{32}{6}-5+\frac{35}{2}$

$=\frac{125}{12}+\frac{64}{12}-\frac{175}{8}-\frac{40}{8}+\frac{140}{8}$

$=\frac{189}{12}-\frac{75}{8}$

$=\frac{63}{4}-\frac{75}{8}$

$=\frac{126}{8}-\frac{75}{8}=\frac{51}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{51}{8} = \frac{51 \times 5}{8 \times 5} = \frac{255}{40}$

$\frac{255}{40}$ を計算すると、6.375 になります。

問題の答えの形式に合わせると、 $\frac{51}{8} = \frac{51}{8} \times \frac{5}{5} = \frac{255}{40} = 6 + \frac{15}{40} = 6.375$

よって答えは、$\frac{8|9}{10}$ のような形式で表現するものではなく、 $\frac{51}{8}$ です。

$\frac{51}{8}=\frac{48+3}{8}=6\frac{3}{8}$

$\frac{51}{8} = 6\frac{3}{8}$

答えは $\frac{51}{8}$