以下の3つの値を求めます。 (1) $\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $\sin(2\cos^{-1}\frac{1}{5})$ (3) $\cos(\sin^{-1}\frac{1}{3}+\sin^{-1}\frac{7}{9})$

1. 問題の内容

以下の3つの値を求めます。

(1) $\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}$

(2) $\sin(2\cos^{-1}\frac{1}{5})$

(3) $\cos(\sin^{-1}\frac{1}{3}+\sin^{-1}\frac{7}{9})$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$となる$\theta$を求めます。$\theta$の範囲は$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$です。

$\theta = \frac{\pi}{3}$が条件を満たします。

(2) $\sin(2\cos^{-1}\frac{1}{5})$

$\cos^{-1}\frac{1}{5}=\alpha$とおくと、$\cos \alpha = \frac{1}{5}$です。

$0 \leq \alpha \leq \pi$であり、$\sin \alpha \geq 0$なので、

$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4\sqrt{6}}{25}$

(3) $\cos(\sin^{-1}\frac{1}{3}+\sin^{-1}\frac{7}{9})$

$\sin^{-1}\frac{1}{3} = \alpha$, $\sin^{-1}\frac{7}{9} = \beta$とおくと、$\sin \alpha = \frac{1}{3}$, $\sin \beta = \frac{7}{9}$です。

$-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, $-\frac{\pi}{2} \leq \beta \leq \frac{\pi}{2}$なので、$\cos \alpha \geq 0$, $\cos \beta \geq 0$です。

$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \beta = \sqrt{1 - \sin^2 \beta} = \sqrt{1 - (\frac{7}{9})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{81}} = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{9} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{9} = \frac{16}{27} - \frac{7}{27} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$

(2) $\frac{4\sqrt{6}}{25}$

(3) $\frac{1}{3}$