方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ が、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つことを示す。

## 問題5

1. 問題の内容

方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ が、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つことを示す。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $f(x) = (x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1$ とおく。

$f(0)$ と $f(1)$ の符号を調べ、中間値の定理を利用する。

まず、$x = 0$ のとき、

$f(0) = (0^2 - 1)\cos 0 + \sqrt{2}\sin 0 - 1 = (-1)(1) + \sqrt{2}(0) - 1 = -1 - 1 = -2 < 0$

次に、$x = 1$ のとき、

$f(1) = (1^2 - 1)\cos 1 + \sqrt{2}\sin 1 - 1 = (0)\cos 1 + \sqrt{2}\sin 1 - 1 = \sqrt{2}\sin 1 - 1$

ここで、$0 < 1 < \pi/2$ であるため、$\sin 1 > 0$ である。

また、$\sin 1$ の値は1ラジアン(約57度)におけるサインの値なので、$\sin 1 \approx \sin(57^\circ) \approx 0.8415$ である。

したがって、

$f(1) = \sqrt{2}\sin 1 - 1 \approx \sqrt{2}(0.8415) - 1 \approx 1.414 \times 0.8415 - 1 \approx 1.19 - 1 = 0.19 > 0$

$f(0) < 0$ かつ $f(1) > 0$ であり、$f(x)$ は連続関数であるから、中間値の定理より、開区間 $(0, 1)$ において、$f(x) = 0$ となる実数解が存在する。

3. 最終的な答え

方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ は、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つ。

## 問題6

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の逆関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ を $x$ について解く。

両辺に2を掛けて、$2y = x + 2\sqrt{x+1}$

$x$ を左辺に移項して、$2y - x = 2\sqrt{x+1}$

両辺を2乗して、$(2y - x)^2 = (2\sqrt{x+1})^2$

$4y^2 - 4xy + x^2 = 4(x+1)$

$x^2 - 4xy - 4x + 4y^2 - 4 = 0$

$x$ について整理すると、$x^2 - (4y+4)x + (4y^2-4) = 0$

これを $x$ について解くために、解の公式を用いる。

$x = \frac{(4y+4) \pm \sqrt{(4y+4)^2 - 4(4y^2-4)}}{2}$

$x = \frac{(4y+4) \pm \sqrt{16y^2 + 32y + 16 - 16y^2 + 16}}{2}$

$x = \frac{(4y+4) \pm \sqrt{32y + 32}}{2}$

$x = \frac{(4y+4) \pm 4\sqrt{2y + 2}}{2}$

$x = 2y + 2 \pm 2\sqrt{2y + 2}$

したがって、$x = 2y + 2 \pm 2\sqrt{2y + 2}$

次に、$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = 2x + 2 \pm 2\sqrt{2x + 2}$

元の関数の定義域を考える。$\sqrt{x+1}$ が定義されるためには、$x+1 \ge 0$ より $x \ge -1$。

$x = -1$ のとき $y = \frac{1}{2}(-1) + \sqrt{-1+1} = -\frac{1}{2}$

$x = 0$ のとき $y = \frac{1}{2}(0) + \sqrt{0+1} = 1$

元の関数の値域は $y \ge -\frac{1}{2}$

逆関数の定義域は $x \ge -\frac{1}{2}$ となる。

$y = 2x + 2 \pm 2\sqrt{2x+2}$ において、 $y = 2x + 2 - 2\sqrt{2x+2}$ となる。

$y = 2x + 2 - 2\sqrt{2x+2} = 2x + 2 - 2\sqrt{2(x+1)}$

3. 最終的な答え

$y = 2x + 2 - 2\sqrt{2x+2}$