(1) $a>0$, $n \geq 3$ のとき、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ を証明せよ。 (2) $r>1$ のとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $a>0$, $n \geq 3$ のとき、不等式 $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ を証明せよ。

(2) $r>1$ のとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数学的帰納法を用いて証明する。

(i) $n=3$ のとき:

左辺: $(1+a)^3 = 1 + 3a + 3a^2 + a^3$

右辺: $\frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot a^3 = a^3$

$1 + 3a + 3a^2 + a^3 > a^3$ より、不等式は成り立つ。

(ii) $n=k$ のとき不等式が成り立つと仮定する。つまり、

$(1+a)^k > \frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3$ が成り立つと仮定する。

$n=k+1$ のとき、不等式が成り立つことを示す。

$(1+a)^{k+1} = (1+a)^k (1+a) > \frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3 (1+a)$

$\frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3 (1+a) = \frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3 + \frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^4$

示すべきは $(1+a)^{k+1} > \frac{1}{6}(k+1)k(k-1)a^3$。

$\frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3 + \frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^4 > \frac{1}{6}(k+1)k(k-1)a^3$

$k(k-1)(k-2) + k(k-1)(k-2)a > (k+1)k(k-1)$

$k(k-1)(k-2-k-1)a > k(k-1) (k+1 - (k-2))$

$k(k-1) \left( a \frac{k(k-1)(k-2) }{6a^3} > \frac{k(k-1)(k+1)}{6a^3}\right)$

左辺 - 右辺を計算して、$>0$を示す方が楽。

$(1+a)^{k+1} = (1+a)^k(1+a) > \frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3(1+a)$

ここで、$\frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3(1+a) > \frac{1}{6}(k+1)k(k-1)a^3$

を示す。

$\frac{1}{6}k(k-1)(k-2)a^3(1+a) - \frac{1}{6}(k+1)k(k-1)a^3$

$= \frac{1}{6}k(k-1)a^3 \left[ (k-2)(1+a) - (k+1) \right]$

$= \frac{1}{6}k(k-1)a^3 \left[ k-2 + ak - 2a - k - 1 \right]$

$= \frac{1}{6}k(k-1)a^3 \left[ ak - 2a - 3 \right] >0$

$ak-2a-3 > 0$ が常に成り立つとは言えないので、二項定理を用いる

$(1+a)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k = 1 + na + \frac{n(n-1)}{2} a^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^3 + \cdots$

$(1+a)^n > \frac{n(n-1)(n-2)}{6}a^3$

(2) ロピタルの定理を用いる。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n}$ は $\frac{\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理が使える。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{r^n \ln r}$

これも $\frac{\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理が使える。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{r^n \ln r} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{r^n (\ln r)^2} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $(1+a)^n > \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)a^3$ (証明終わり)

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{r^n} = 0$