3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ が $x=4$ で極小値0をとるとき、以下の問題を解く。 (1) $a, b$ の値を求める。 (2) $f(x)$ の極大値を求める。 (3) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求める。 (4) 点 $A(1, 8)$ から曲線 $y = f(x)$ に引いた接線の方程式を求める。 (5) 点 $P(0, p)$ から曲線 $y = f(x)$ に異なる3本の接線が引けるときの $p$ の範囲を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ が $x=4$ で極小値0をとるとき、以下の問題を解く。

(1) $a, b$ の値を求める。

(2) $f(x)$ の極大値を求める。

(3) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求める。

(4) 点 $A(1, 8)$ から曲線 $y = f(x)$ に引いた接線の方程式を求める。

(5) 点 $P(0, p)$ から曲線 $y = f(x)$ に異なる3本の接線が引けるときの $p$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f(4) = 4^3 + a(4^2) + b(4) - 16 = 64 + 16a + 4b - 16 = 16a + 4b + 48 = 0$

$f'(4) = 3(4^2) + 2a(4) + b = 48 + 8a + b = 0$

連立方程式を解く。

$16a + 4b = -48 \implies 4a + b = -12$

$8a + b = -48$

$4a = -36 \implies a = -9$

$b = -12 - 4(-9) = -12 + 36 = 24$

よって、$a = -9, b = 24$

(2) $f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16$

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x - 2)(x - 4)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 2, 4$。

$x = 2$ で極大値をとる。

$f(2) = 2^3 - 9(2^2) + 24(2) - 16 = 8 - 36 + 48 - 16 = 4$

(3) $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は

$y - f(t) = f'(t)(x - t)$

$f(t) = t^3 - 9t^2 + 24t - 16$

$f'(t) = 3t^2 - 18t + 24$

$y - (t^3 - 9t^2 + 24t - 16) = (3t^2 - 18t + 24)(x - t)$

$y = (3t^2 - 18t + 24)x - 3t^3 + 18t^2 - 24t + t^3 - 9t^2 + 24t - 16$

$y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16$

(4) 点 $A(1, 8)$ から接線を引くので、

$8 = (3t^2 - 18t + 24)(1) - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$8 = 3t^2 - 18t + 24 - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$2t^3 - 12t^2 + 18t - 8 = 0$

$t^3 - 6t^2 + 9t - 4 = 0$

$(t - 1)(t^2 - 5t + 4) = 0$

$(t - 1)(t - 1)(t - 4) = 0$

$t = 1, 4$

$t = 1$ のとき、$y = (3 - 18 + 24)x - 2 + 9 - 16 = 9x - 9$

$t = 4$ のとき、$y = (48 - 72 + 24)x - 128 + 144 - 16 = 0x + 0 = 0$ これはありえないので、$y=0x=0$

$t=4$のとき,$f'(4) = 0$となり、接線は$y = 0$

したがって、$y = 9x - 1$ または $y = 0$

(5) $P(0, p)$ から $y = f(x)$ に3本の接線が引けるとき、$y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16$ に $(0, p)$ を代入する。

$p = -2t^3 + 9t^2 - 16$

$g(t) = -2t^3 + 9t^2 - 16$

$g'(t) = -6t^2 + 18t = -6t(t - 3)$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = 0, 3$

$g(0) = -16$

$g(3) = -2(27) + 9(9) - 16 = -54 + 81 - 16 = 11$

$f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16$

異なる3本の接線が引けるのは $-16 < p < 11$

3. 最終的な答え

(1) $a = -9, b = 24$

(2) 極大値 = 4

(3) $y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16$

(4) $y = 9x - 1$ または $y = 0$

(5) $-16 < p < 11$