3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ は $x=4$ で極小値 $0$ をとる。 (1) $a, b$ の値を求めよ。また、$f(x)$ は $x = \text{オ}$ のとき、極大値 $\text{カ}$ をとる。 (2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ におけるこの曲線の接線の方程式を求めよ。 また、点 $A(1, 8)$ から曲線 $y = f(x)$ に引いた接線の方程式を求めよ。 さらに、点 $P(0, p)$ から曲線 $y = f(x)$ に異なる3本の接線が引けるとき、定数 $p$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$ は $x=4$ で極小値 $0$ をとる。

(1) $a, b$ の値を求めよ。また、$f(x)$ は $x = \text{オ}$ のとき、極大値 $\text{カ}$ をとる。

(2) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ におけるこの曲線の接線の方程式を求めよ。

また、点 $A(1, 8)$ から曲線 $y = f(x)$ に引いた接線の方程式を求めよ。

さらに、点 $P(0, p)$ から曲線 $y = f(x)$ に異なる3本の接線が引けるとき、定数 $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 16$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$

$f(4) = 4^3 + a(4^2) + b(4) - 16 = 64 + 16a + 4b - 16 = 16a + 4b + 48 = 0$

$f'(4) = 3(4^2) + 2a(4) + b = 48 + 8a + b = 0$

$16a + 4b = -48$

$8a + b = -48$

$4a + b = -12$

$b = -4a - 12$

$8a + (-4a - 12) = -48$

$4a = -36$

$a = -9$

$b = -4(-9) - 12 = 36 - 12 = 24$

よって、$a = -9, b = 24$

$f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16$

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 24 = 3(x^2 - 6x + 8) = 3(x-2)(x-4)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=2, 4$

$x=4$ で極小値をとるので、$x=2$ で極大値をとる。

$f(2) = 2^3 - 9(2^2) + 24(2) - 16 = 8 - 36 + 48 - 16 = 4$

よって、極大値は 4。

(2) $y = f(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 16$

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 24$

点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は

$y - f(t) = f'(t) (x-t)$

$y = (3t^2 - 18t + 24) (x-t) + t^3 - 9t^2 + 24t - 16$

$y = (3t^2 - 18t + 24) x - 3t^3 + 18t^2 - 24t + t^3 - 9t^2 + 24t - 16$

$y = (3t^2 - 18t + 24)x - 2t^3 + 9t^2 - 16$

点 $A(1, 8)$ から引いた接線の方程式を求める。

$8 = (3t^2 - 18t + 24) (1) - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$8 = 3t^2 - 18t + 24 - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$2t^3 - 12t^2 + 18t = 0$

$2t (t^2 - 6t + 9) = 0$

$2t(t-3)^2 = 0$

$t = 0, 3$

$t = 0$ のとき、 $y = 24x - 16$

$t = 3$ のとき、 $y = (3(9) - 18(3) + 24) x - 2(27) + 9(9) - 16 = (27 - 54 + 24) x - 54 + 81 - 16 = -3x + 11$

よって、$y = 24x - 16$ または $y = -3x + 11$

点 $P(0, p)$ から引いた接線について

$p = (3t^2 - 18t + 24) (0) - 2t^3 + 9t^2 - 16$

$p = -2t^3 + 9t^2 - 16$

$g(t) = -2t^3 + 9t^2 - 16 - p = 0$ となる $t$ が3つ存在すれば良い。

$g'(t) = -6t^2 + 18t = -6t(t - 3)$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = 0, 3$

$g(0) = -16 - p$

$g(3) = -2(27) + 9(9) - 16 - p = -54 + 81 - 16 - p = 11 - p$

$-16 - p > 0$ かつ $11 - p < 0$

$p < -16$ かつ $p > 11$

これはありえない。

$11 - p > 0$ かつ $-16 - p < 0$

$p < 11$ かつ $p > -16$

$-16 < p < 11$

3. 最終的な答え

アイ: -9

ウエ: 24

オ: 2

カ: 4

キー: 3

クケ: 18

コサ: 24

シ: 2

ス: 9

セ: 16

タチ: 24

ツテ: -16

トナ: -3

ニヌ: 11

ネノハ: -16

ヒフ: 11