関数 $f(x) = |x^2 - 2x|$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値 $M(a)$ を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x^2 - 2x|$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値 $M(a)$ を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = x^2 - 2x$ とおく。$g(x) = (x-1)^2 - 1$ より、$g(x)$ は $x=1$ で最小値 $-1$ をとる。

したがって、$f(x) = |g(x)| = |x^2 - 2x|$ は、$x=0, 2$ で $f(0) = f(2) = 0$ となり、$x=1$ で $f(1) = 1$ となる。

区間 $a \le x \le a+1$ における $f(x)$ の最大値を求める。

(i) $a+1 \le 0$ つまり $a \le -1$ のとき

$f(x) = x^2 - 2x$ は区間内で単調減少であるから、最大値は $f(a) = a^2 - 2a$

$M(a) = a^2 - 2a$

(ii) $a \ge 2$ のとき

$f(x) = x^2 - 2x$ は区間内で単調増加であるから、最大値は $f(a+1) = (a+1)^2 - 2(a+1) = a^2 + 2a + 1 - 2a - 2 = a^2 - 1$

$M(a) = a^2 - 1$

(iii) $0 \le a \le 1$ のとき

$f(a) = |a^2 - 2a| = -a^2 + 2a$

$f(a+1) = |(a+1)^2 - 2(a+1)| = |a^2 - 1| = 1 - a^2$

$-a^2 + 2a = 1 - a^2$ となるのは、$2a = 1$ より $a = \frac{1}{2}$

$0 \le a \le \frac{1}{2}$ のとき $M(a) = 1 - a^2$

$\frac{1}{2} < a \le 1$ のとき $M(a) = -a^2 + 2a$

(iv) $1 \le a \le 2$ のとき

$f(a) = |a^2 - 2a| = a^2 - 2a$

$f(a+1) = |(a+1)^2 - 2(a+1)| = |a^2 - 1| = a^2 - 1$

$a^2 - 2a = a^2 - 1$ となるのは、$2a = 1$ より $a = \frac{1}{2}$ であるが、$1 \le a \le 2$ なので考えない。

$M(a) = a^2 - 1$

(v) $-1 < a < 0$ のとき

$a+1 \le 1$ より、$M(a) = 1$

以上をまとめると

$M(a) = \begin{cases}

a^2 - 2a & (a \le -1) \\

1 & (-1 < a \le 0) \\

1 - a^2 & (0 < a \le \frac{1}{2}) \\

-a^2 + 2a & (\frac{1}{2} < a \le 1) \\

a^2 - 1 & (1 < a)

\end{cases}$

3. 最終的な答え

$M(a) = \begin{cases} a^2 - 2a & (a \le -1) \\ 1 & (-1 < a \le 0) \\ 1 - a^2 & (0 < a \le \frac{1}{2}) \\ a^2 - 2a & (\frac{1}{2} < a \le 1) \\ a^2 - 1 & (1 < a) \end{cases}$