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$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 4^n}{3^n + 4^{n+1}}$ を求めよ。

解析学極限数列の極限
2025/6/11
## 問題の解答
以下に、画像に示された問題の解答を示します。
### (5) の問題

1. 問題の内容

lim⁡n→∞2n−4n3n+4n+1\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 4^n}{3^n + 4^{n+1}} を求めよ。

2. 解き方の手順

分子と分母を 4n4^n で割る。
lim⁡n→∞2n−4n3n+4n+1=lim⁡n→∞2n4n−4n4n3n4n+4n+14n\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 4^n}{3^n + 4^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^n}{4^n} - \frac{4^n}{4^n}}{\frac{3^n}{4^n} + \frac{4^{n+1}}{4^n}}
=lim⁡n→∞(12)n−1(34)n+4= \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n - 1}{(\frac{3}{4})^n + 4}
n→∞n \to \infty のとき、(12)n→0(\frac{1}{2})^n \to 0 かつ (34)n→0(\frac{3}{4})^n \to 0 なので、
=0−10+4=−14= \frac{0 - 1}{0 + 4} = -\frac{1}{4}

3. 最終的な答え

−14-\frac{1}{4}
### (6) の問題

1. 問題の内容

lim⁡n→∞∑k=0n(−13)k\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} (-\frac{1}{3})^k を求めよ。

2. 解き方の手順

これは初項 1、公比 −13-\frac{1}{3} の等比数列の和の極限である。
等比数列の和の公式は、Sn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} であり、
∣r∣<1|r| < 1 のとき、lim⁡n→∞rn=0\lim_{n \to \infty} r^n = 0 であるから、
lim⁡n→∞Sn=a1−r\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a}{1-r} となる。
lim⁡n→∞∑k=0n(−13)k=lim⁡n→∞1−(−13)n+11−(−13)=11+13=143=34\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} (-\frac{1}{3})^k = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - (-\frac{1}{3})^{n+1}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}

3. 最終的な答え

34\frac{3}{4}
### (7) の問題

1. 問題の内容

lim⁡n→∞(1+23n)4n\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{3n})^{4n} を求めよ。

2. 解き方の手順

lim⁡n→∞(1+xn)n=ex\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n = e^x の公式を用いる。
lim⁡n→∞(1+23n)4n=lim⁡n→∞((1+23n)3n2)23n⋅4n=lim⁡n→∞((1+23n)3n2)83\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{3n})^{4n} = \lim_{n \to \infty} ((1 + \frac{2}{3n})^{\frac{3n}{2}})^{\frac{2}{3n} \cdot 4n} = \lim_{n \to \infty} ((1 + \frac{2}{3n})^{\frac{3n}{2}})^{\frac{8}{3}}
ここで、lim⁡n→∞(1+23n)3n2=e\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{3n})^{\frac{3n}{2}} = e であるから、
lim⁡n→∞(1+23n)4n=e83\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{3n})^{4n} = e^{\frac{8}{3}}

3. 最終的な答え

e83e^{\frac{8}{3}}
### (8) の問題

1. 問題の内容

lim⁡n→∞(2n+3n+4n)1n\lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n + 4^n)^{\frac{1}{n}} を求めよ。

2. 解き方の手順

lim⁡n→∞(2n+3n+4n)1n=lim⁡n→∞(4n((24)n+(34)n+1))1n\lim_{n \to \infty} (2^n + 3^n + 4^n)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (4^n ((\frac{2}{4})^n + (\frac{3}{4})^n + 1))^{\frac{1}{n}}
=lim⁡n→∞4((12)n+(34)n+1)1n= \lim_{n \to \infty} 4 ((\frac{1}{2})^n + (\frac{3}{4})^n + 1)^{\frac{1}{n}}
n→∞n \to \infty のとき、(12)n→0(\frac{1}{2})^n \to 0 かつ (34)n→0(\frac{3}{4})^n \to 0 なので、
=4lim⁡n→∞(0+0+1)1n=4⋅1=4= 4 \lim_{n \to \infty} (0 + 0 + 1)^{\frac{1}{n}} = 4 \cdot 1 = 4

3. 最終的な答え

4

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